Велосипедист проехал 80 км из одного города в другой и вернулся обратно. На обратной дороге его скорость была больше на 4 км/ч. Поэтому на обратный путь он затратил на час меньше.…

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.

Обозначения:

• Пусть скорость велосипедиста при движении туда — \( v \) км/ч.
• Тогда скорость при обратной дороге — \( v + 4 \) км/ч.
• Время, затраченное на путь туда — \( t_1 \) часов.
• Время, затраченное на путь обратно — \( t_2 \) часов.
• Общее время — \( T = t_1 + t_2 \).

---

1. Запишем уравнения для времени путешествия:

• По формуле \( \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} \):

\[ t_1 = \frac{80}{v} \] \[ t_2 = \frac{80}{v + 4} \]

---

2. Условие о разнице во времени:

• Обратная дорога заняла на час меньше, чем туда:

\[ t_2 = t_1 - 1 \]

Подставляем выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ \frac{80}{v + 4} = \frac{80}{v} - 1 \]

---

3. Решение уравнения

Перенесем все в одну сторону:

\[ \frac{80}{v + 4} - \frac{80}{v} = -1 \]

Объединим левую часть по общему знаменателю:

\[ \frac{80v - 80(v + 4)}{v(v + 4)} = -1 \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{80v - 80v - 320}{v(v + 4)} = -1 \]

Сократим:

\[ \frac{-320}{v(v + 4)} = -1 \]

Теперь избавимся от дроби:

\[ -320 = -v(v + 4) \]

Произведем умножение:

\[ -320 = -v^2 - 4v \]

Перенесем все в левую сторону:

\[ -v^2 - 4v + 320 = 0 \]

Домножим обе части на -1 для удобства:

\[ v^2 + 4v - 320 = 0 \]

---

4. Решение квадратного уравнения

Используем формулу корней квадратного уравнения:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

здесь:

• \( a = 1 \)
• \( b = 4 \)
• \( c = -320 \)

Вычисляем дискриминант:

\[ D = 4^2 - 4 \times 1 \times (-320) = 16 + 1280 = 1296 \]

Находим корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{1296} = 36 \]

Подставляем в формулу:

\[ v = \frac{-4 \pm 36}{2} \]

Рассматриваем оба варианта:

• \( v = \frac{-4 + 36}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)
• \( v = \frac{-4 - 36}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \) (отрицательная скорость — не подходит)

Следовательно, скорость туда составляет:

\[ v = 16 \text{ км/ч} \]

---

5. Находим время путешествия туда и обратно

• Время туда:

\[ t_1 = \frac{80}{16} = 5 \text{ часов} \]

• Время обратно:

\[ t_2 = t_1 - 1 = 4 \text{ часа} \]

или проверим через скорость:

\[ t_2 = \frac{80}{v + 4} = \frac{80}{20} = 4 \text{ часа} \]

Все совпадает.

---

6. Общее время поездки:

\[ T = t_1 + t_2 = 5 + 4 = \boxed{9 \text{ часов}} \]

---

Ответ:

Общее время поездки велосипедиста — 9 часов.