Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.
Обозначения:
- Пусть скорость велосипедиста при движении туда — ( v ) км/ч.
- Тогда скорость при обратной дороге — ( v + 4 ) км/ч.
- Время, затраченное на путь туда — ( t_1 ) часов.
- Время, затраченное на путь обратно — ( t_2 ) часов.
- Общее время — ( T = t_1 + t_2 ).
1. Запишем уравнения для времени путешествия:
- По формуле ( \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} ):
[
t_1 = \frac{80}{v}
]
[
t_2 = \frac{80}{v + 4}
]
2. Условие о разнице во времени:
- Обратная дорога заняла на час меньше, чем туда:
[
t_2 = t_1 - 1
]
Подставляем выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{80}{v + 4} = \frac{80}{v} - 1
]
3. Решение уравнения
Перенесем все в одну сторону:
[
\frac{80}{v + 4} - \frac{80}{v} = -1
]
Объединим левую часть по общему знаменателю:
[
\frac{80v - 80(v + 4)}{v(v + 4)} = -1
]
Раскроем скобки в числителе:
[
\frac{80v - 80v - 320}{v(v + 4)} = -1
]
Сократим:
[
\frac{-320}{v(v + 4)} = -1
]
Теперь избавимся от дроби:
[
-320 = -v(v + 4)
]
Произведем умножение:
[
-320 = -v^2 - 4v
]
Перенесем все в левую сторону:
[
-v^2 - 4v + 320 = 0
]
Домножим обе части на -1 для удобства:
[
v^2 + 4v - 320 = 0
]
4. Решение квадратного уравнения
Используем формулу корней квадратного уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
здесь:
- ( a = 1 )
- ( b = 4 )
- ( c = -320 )
Вычисляем дискриминант:
[
D = 4^2 - 4 \times 1 \times (-320) = 16 + 1280 = 1296
]
Находим корень из дискриминанта:
[
\sqrt{1296} = 36
]
Подставляем в формулу:
[
v = \frac{-4 \pm 36}{2}
]
Рассматриваем оба варианта:
- ( v = \frac{-4 + 36}{2} = \frac{32}{2} = 16 )
- ( v = \frac{-4 - 36}{2} = \frac{-40}{2} = -20 ) (отрицательная скорость — не подходит)
Следовательно, скорость туда составляет:
[
v = 16 \text{ км/ч}
]
5. Находим время путешествия туда и обратно
[
t_1 = \frac{80}{16} = 5 \text{ часов}
]
[
t_2 = t_1 - 1 = 4 \text{ часа}
]
или проверим через скорость:
[
t_2 = \frac{80}{v + 4} = \frac{80}{20} = 4 \text{ часа}
]
Все совпадает.
6. Общее время поездки:
[
T = t_1 + t_2 = 5 + 4 = \boxed{9 \text{ часов}}
]
Ответ:
Общее время поездки велосипедиста — 9 часов.
