на средней линии трапеции ABSD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точке E. Докажите что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции
Задача: на средней линии трапеции ABSD с основаниями AD и BC взяли произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
Решение по координатам (наглядно и понятно на среднем школьном уровне):
- Обозначим размеры трапеции:
- BC = b (нижнее основание),
- AD = a (верхнее основание),
- высота трапеции h — расстояние между параллельными основаниями AD и BC.
- Расположим трапецию в координатах так, чтобы BC лежала на оси y = 0, а AD — на линии y = h. Пусть точки имеют координаты:
- B = (0, 0), C = (b, 0),
- A = (p, h), D = (p + a, h), где p — произвольный сдвиг по оси x (это не влияет на площади).
Средняя линия MN трапеции — это линия, соединяющая середины боковых сторон AB и CD. Ее координаты показывают, что она лежит на уровне y = h/2, то есть любая точка E на средней линии имеет вид E = (x, h/2) для некоторого x.
Площадь треугольника BEC:
- основание BC имеет длину b,
- высота треугольника к основанию BC — расстояние от E до прямой BC (линии y = 0), то есть y-координата E: h/2.
- следовательно, S(BEC) = 1/2 · b · (h/2) = b h / 4.
- Площадь треугольника AED:
- основание AD имеет длину a,
- высота треугольника к основанию AD — расстояние от E до прямой AD (линии y = h), то есть h − h/2 = h/2.
- следовательно, S(AED) = 1/2 · a · (h/2) = a h / 4.
Сумма площадей: S(BEC) + S(AED) = (b h / 4) + (a h / 4) = (a + b) h / 4.
Площадь трапеции ABSD равна S_trap = ((AD + BC) / 2) · h = ((a + b) / 2) · h. Половина площади трапеции: S_trap / 2 = ((a + b) / 2) · h / 2 = (a + b) h / 4.
В соответствии с пунктами 6 и 7, имеем S(BEC) + S(AED) = (a + b) h / 4 = 1/2 · S_trap.
Итак, сумма площадей треугольников BEC и AED действительно равна половине площади трапеции, независимо от положения точки E на средней линии.
