Выяснить, при каких значениях х производная функции f(х) принимает отрицательные значения, если: f(x) = -3x³ + 3x² + 4;

Задача: найти значения x, при которых производная f'(x) отрицательна для f(x) = -3x^3 + 3x^2 + 4. Пошаговое решение 1) Найдём производную - f'(x) = d/dx(-3x^3 + 3x^2 + 4) = -9x^2 + 6x. 2) Запишем неравенство - Нужно решить: -9x^2 + 6x < 0. 3) Упростим через факторизацию - -9x^2 + 6x = -3x(3x - 2). - Неравенство: -3x(3x - 2) < 0. 4) Найдём нули выражения - Корни: x = 0 и x = 2/3. Это точки разреза знаков производной. 5) Разберём знак на интервалах - Интервалы: (-∞, 0), (0, 2/3), (2/3, ∞). - Пробуем значения: - x = -1: f'(-1) = -9(1) + 6(-1) = -15 < 0. - x = 1/3: f'(1/3) = -9(1/9) + 6(1/3) = -1 + 2 = 1 > 0. - x = 1: f'(1) = -9 + 6 = -3 < 0. - Значит: f'(x) < 0 на (-∞, 0) и на (2/3, ∞). 6) Ответ - Производная отрицательна при x ∈ (-∞, 0) ∪ (2/3, ∞). - В точках x = 0 и x = 2/3 производная равна нулю (не входит в неравенство). Дополнительно (вариант рассуждения): можно решить неравенство -9x^2 + 6x < 0, разделив на -3 (и поменяв знак неравенства) → 3x^2 - 2x > 0 → x(3x - 2) > 0, что дает те же интервалы: (-∞, 0) и (2/3, ∞).