Выяснить, при каких значениях х производная функции f(х) принимает отрицательные значения, если: f(x) = -3x³ + 3x² + 4;

Задача: найти значения x, при которых производная f'(x) отрицательна для f(x) = -3x^3 + 3x^2 + 4.

Пошаговое решение

1. Найдём производную

• f'(x) = d/dx(-3x^3 + 3x^2 + 4) = -9x^2 + 6x.

2. Запишем неравенство

• Нужно решить: -9x^2 + 6x < 0.

3. Упростим через факторизацию

• -9x^2 + 6x = -3x(3x - 2).
• Неравенство: -3x(3x - 2) < 0.

4. Найдём нули выражения

• Корни: x = 0 и x = 2/3. Это точки разреза знаков производной.

5. Разберём знак на интервалах

• Интервалы: (-∞, 0), (0, 2/3), (2/3, ∞).
• Пробуем значения:
  • x = -1: f'(-1) = -9(1) + 6(-1) = -15 < 0.
  • x = 1/3: f'(1/3) = -9(1/9) + 6(1/3) = -1 + 2 = 1 > 0.
  • x = 1: f'(1) = -9 + 6 = -3 < 0.
• Значит: f'(x) < 0 на (-∞, 0) и на (2/3, ∞).

6. Ответ

• Производная отрицательна при x ∈ (-∞, 0) ∪ (2/3, ∞).
• В точках x = 0 и x = 2/3 производная равна нулю (не входит в неравенство).

Дополнительно (вариант рассуждения): можно решить неравенство -9x^2 + 6x < 0, разделив на -3 (и поменяв знак неравенства) → 3x^2 - 2x > 0 → x(3x - 2) > 0, что дает те же интервалы: (-∞, 0) и (2/3, ∞).