Напишите уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки: а) А ( 1;-1) и B (-3;2); б) C (2;5) и D(5;2); в) M (0;1) и N (-4;-5). Решение. а) Уравнение прямой AB имеет вид ax+by+c=0. так как точка, A и B лежат на прямой, AB, то их координаты удовлетворяют этому уравнению: a*1+b*(-1)+c=0, a*(-3)+b*2+c=0, или a-d+c= 0, -3a+2b+c=0. из этих уравнений выразим коэффициенты a и b через c: a=3c, b=4c. подставив эти значения в уравнение прямой, получим 3cx+4cy+c=0. При любой c ≠0 это уравнение является уравнением прямой AB. сократив на c, запишем искомое уравнение в виде 3x+4y+1= 0

Ниже подробные решения для каждой пары точек. Мы используем стандартное уравнение прямой ax + by + c = 0 и метод на основе двум точкам (для каждых двух точек). а) через A(1, -1) и B(-3, 2) - Пусть прямая задаётся ax + by + c = 0 и обе точки лежат на ней. Подставляем точки: 1) a·1 + b(−1) + c = 0 → a − b + c = 0 2) a(−3) + b·2 + c = 0 → −3a + 2b + c = 0 - Решаем систему: Из 1) a = b − c. Подставляем в 2): −3(b − c) + 2b + c = 0 → −3b + 3c + 2b + c = 0 → −b + 4c = 0 → b = 4c. Тогда a = b − c = 4c − c = 3c. - Получаем пропорцию коэффициентов: a : b : c = 3c : 4c : c. Можно взять c ≠ 0 и поделить на c: 3x + 4y + 1 = 0. - Проверка: для A(1, −1): 3·1 + 4·(−1) + 1 = 3 − 4 + 1 = 0; для B(−3, 2): 3(−3) + 4·2 + 1 = −9 + 8 + 1 = 0. Верно. Итак, уравнение прямой AB: 3x + 4y + 1 = 0. б) через C(2, 5) и D(5, 2) - Найдём наклон m: m = (y2 − y1)/(x2 − x1) = (2 − 5)/(5 − 2) = (−3)/3 = −1. - Уравнение в форме точка-наклон: y − 5 = −1 (x − 2). - Приведём к стандартной форме: y − 5 = −x + 2 → x + y − 7 = 0. Итак, уравнение прямой CD: x + y − 7 = 0 (или y = −x + 7). в) через M(0, 1) и N(−4, −5) - Найдём наклон m: m = (y2 − y1)/(x2 − x1) = (−5 − 1)/(−4 − 0) = (−6)/(−4) = 3/2. - Уравнение через точку M: y − 1 = (3/2)(x − 0) → y = (3/2)x + 1. - Приведём к формe ax + by + c = 0: умножим на 2: 2y − 2 = 3x → −3x + 2y − 2 = 0. Приведём к более «обычному» виду: 3x − 2y + 2 = 0. Итак, уравнение прямой MN: 3x − 2y + 2 = 0 (или y = (3/2)x + 1). Если нужны дополнительные формы (точка-наклон, или в виде детерминантной записи), могу привести их.