Y=x²•(x³+1)

Задача: y = x^2 · (x^3 + 1) Цель: понять, разобрать функцию, найти ключевые характеристики и поведение графика. Ниже подробное пошаговое решение. 1) Упрощение и основа - Раскроем скобки или запишем в виде многочлена: y = x^2(x^3 + 1) = x^5 + x^2. - Это поможет видеть ведущий член и поведение при больших |x|. 2) Нули функции (пересечения с осью x) - y = 0 означает x^2(x^3 + 1) = 0. - x^2 = 0 дает x = 0 (кратность 2). - x^3 + 1 = 0 дает x^3 = -1, значит x = -1. - Итак, нули: x = 0 (множество 2) и x = -1. 3) Производная и критические точки - Производная от y = x^5 + x^2: y' = 5x^4 + 2x. - Раскроем скобки: y' = x(5x^3 + 2). - Критические точки получают при y' = 0: - x = 0 - 5x^3 + 2 = 0 → x^3 = -2/5 → x = - (2/5)^{1/3} ≈ -0.7368. 4) Анализ знака производной (монотность) - Обозначим a = (2/5)^{1/3} ≈ 0.7368. - Рассмотрим интервалы: (-∞, -a), (-a, 0), (0, ∞). - Для x < -a: x отрицательно, 5x^3 + 2 < 0 (так как x^3 очень отрицательен). Произведение положительно → y' > 0 (возрастание). - для -a < x < 0: x отрицательно, 5x^3 + 2 > 0. Произведение отрицательно → y' < 0 (убывание). - для x > 0: x положительно, 5x^3 + 2 > 0. Произведение положительно → y' > 0 (возрастание). - Следовательно: - при x = -a функция достигает локального максимума (переход от возрастания к убыванию); - при x = 0 функция достигает локального минимума (переход от убывания к возрастанию). 5) Значения в критических точках - y(0) = 0. - y(-a) = a^2 ( (-a)^3 + 1 ) = a^2 (-a^3 + 1) = a^2 (1 - a^3). - Так как a^3 = 2/5, имеем y(-a) = a^2 (1 - 2/5) = a^2 · 3/5 = (3/5) a^2. - Так как a^2 = (2/5)^{2/3}, точнее y(-a) = (3/5) (2/5)^{2/3} ≈ 0.326. - Итого: локальный максимум в x ≈ -0.7368, y ≈ 0.326; локальный минимум в x = 0, y = 0. 6) Вторая производная и точки перегиба - Вторая производная: y'' = 20x^3 + 2. - Точка перегиба там, где y'' = 0: 20x^3 + 2 = 0 → x^3 = -1/10 → x ≈ -0.464. - Примерно: при x < -0.464 график выпуклый вниз, при x > -0.464 выпуклый вверх (переключение выпуклости). 7) Поведение при больших |x| (асимптотика и итоги) - Старший член доминирует: y ≈ x^5 при больших |x|. - При x → +∞: y → +∞. - При x → -∞: y → -∞. - Осевые пересечения: - По оси y: при x = 0, y = 0. - По оси x: нули x = 0 и x = -1. В точке x = 0 график касается оси (кратность 2), в x = -1 график пересекает ось. 8) Краткое резюмирование графика - График проходит через (0,0) и (-1,0). - Локальный максимум примерно при x ≈ -0.737 с y ≈ 0.326. - Локальный минимум при x = 0, y = 0. - Есть точка перегиба около x ≈ -0.464. - График возрастает на (-∞, -a) и (0, ∞), убывает на (-a, 0). Если нужно, могу привести ещё примеры: найти точку тангенса, построить таблицу значений, схему графика или детальный разбор в виде чертежа. Также могу адаптировать объяснение под конкретный класс или тип задания (например, только нахождение производной и критических точек, или анализ графика).