Задание №60864 ЕГЭ Профильной математике

Заметим, что поскольку в турнире участвуют 16 игроков, всего будет четыре тура, в каждом из которых будут играть 16, 8, 4 и 2 человека соответственно. Пусть событие $\mathrm{A}$  — Иван с Алексеем сыграли друг с другом в первом туре, событие $\mathrm{B}$  — они не сыграли друг с другом в первом туре, но выиграли свои игры в первом туре и встретились во втором, событие $\mathrm{C}$  — они не сыграли друг с другом в первом и втором туре, но выиграли свои игры в первом и втором туре и встретились в третьем, $\mathrm{D}$  — они не сыграли друг с другом в первом, втором и третьем туре, но выиграли свои игры в первом, втором и третьем туре и встретились в четвёртом.

Вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в первом туре, равна $\mathrm{Р}\left(\mathrm{А}\right)=\frac{1}{15}.$ Вероятность события, при котором Иван с Алексеем не сыграли друг с другом в первом туре, но оба выиграли в первом туре и встретились во втором туре, равна $\mathrm{Р}\left(\mathrm{В}\right)=\frac{14}{15}·\frac{1}{2}·\frac{1}{2}·\frac{1}{7}=\frac{1}{30}$

Аналогично, вероятность события $\mathrm{C}$: $\mathrm{Р}\left(\mathrm{С}\right)=\frac{14}{15}·\frac{1}{2}·\frac{1}{2}·\frac{6}{7}·\frac{1}{2}·\frac{1}{2}·\frac{1}{3}=\frac{1}{60}$

Осталось найти вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в четвёртом туре: $\mathrm{Р}\left(\mathrm{D}\right)=\frac{14}{15}·\frac{1}{2}·\frac{1}{2}·\frac{6}{7}·\frac{1}{2}·\frac{1}{2}·\frac{2}{3}·\frac{1}{2}·\frac{1}{2}·1=\frac{1}{120}$

Теперь найдём искомую вероятность: