Задание №66530 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #66530

Решите неравенство

|log (x + 1)2− 2|+ |log(2x+ 3)− 1|≤ 3 4 2

Ответ

Ответ:

Решение

Найдем ОДЗ неравенства:

( ({ 2 |{ x> − 3 (x+ 1) > 0 ⇔ 2 (2x +3 > 0 |( x⁄= −1

Для того, чтобы раскрыть модули, нужно определить, при каких $x$ подмодульное выражение больше нуля, а при каких — меньше.

Рассмотрим первый модуль:

log (x +1)2− 2> 0 4 log4(x +1)2 > 2 (x+ 1)2 > 42 |x+ 1|> 4 ⌊x >3 ⌈ x <− 5

Следовательно, с учетом ОДЗ первое подмодульное выражение при $x> 3$ положительно, а при $− 32 < x< 3,x⁄= −1$ — отрицательно.

Рассмотрим второй модуль:

log (2x +3)− 1> 0 2 log2(2x +3)> 1 2x+ 3 >2 x > − 1 2

Следовательно, с учетом ОДЗ второе подмодульное выражение при $x> − 1 2$ положительно, а при $3 1 − 2 < x< −2,x ⁄= −1$ — отрицательно.

Рассмотрим промежутки, где каждое из двух подмодульных выражений принимает значение одного определенного знака:

$31 −2−1−23−−−−−+++$

Первый знак соответствует знаку первого подмодульного выражения, второй — второму.

Рассмотрим неравенство на каждом отдельно взятом промежутке.

$− 3< x <− 1,x⁄= − 1: 2 2$

− log(x+ 1)2+ 2− log (2x +3)+ 1 ≤3 4 2 log4(x +1)2+ log4(2x + 3)2 ≥ 0 log ((x+ 1)(2x + 3))2 ≥ 0 4 2 ((x+ 1)(2x+ 3)) ≥ 1 (2x2+ 5x + 3)2 ≥ 1 ⌊ ⌈ 2x2+ 5x+ 3≥ 1 ⇔ 2x2+ 5x+ 3≤ −1 ( ) (x+ 2) x+ 1 ≥ 0 ⌊ 2 x≥ − 1 |⌈ 2 x≤ − 2

Пересекая полученные значения $x$ с $− 3 < x< − 1,x⁄= − 1, 2 2$ получаем $x∈ ∅.$

$− 1≤ x ≤3 : 2$

2 − log4(x+ 1) + 2+ log2(2x +3)− 1 ≤3 − log4(x+ 1)2+ log4(2x +3)2 ≤ 2 ( )2 log4 2x-+3 ≤ 2 x+ 1 ( 2x+ 3)2 2 x-+1- ≤4 − 4 ≤ 2x+-3≤ 4 x+ 1

При $− 1 ≤ x≤ 3 2$ имеем $x +1 > 0,$ следовательно, можно умножить обе части полученного двойного неравенства на $x+ 1 :$

− 4(x +1)≤ 2x +3 ≤4(x+ 1) ⇔ x ≥− 1 2

Пересекая полученные $x$ с $1 − 2 ≤ x≤ 3,$ получаем $[ ] 1 x ∈ − 2;3 .$

$x > 3:$

2 log4(x+ 1) − 2+ log2(2x + 3)− 1 ≤3 log4(x+ 1)2+ log4(2x + 3)2 ≤ 6 2 log4((x+ 1)(2x +3)) ≤ 6 ((x+ 1)(2x+ 3))2 ≤46 =642 2 −( 64≤ 2x + 5x+ 3≤ 64 { 2x2+ 5x− 61≤ 0 ( 2 2x +√-5x+ 67≥ 0 √ --- −-5−--513 −5+---513- 4 ≤ x ≤ 4

Пересекая полученные $x$ с $x> 3,$ получаем $( √ ---] x ∈ 3; −5+--513- . 4$

В итоге получаем ответ $√--- [ 1 −5+--513] x∈ −2 ; 4 .$

Ответ: $[ √---] − 1; −-5+-513 2 4$

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот

Задание №53485 Задание №58398 Задание №51078 Задание №53710 Задание №27504 Задание №51732 Задание №27502 Задание №54596 Задание №49468 Задание №52973 Задание №49974 Задание №26929 Задание №50296 Задание №27649 Задание №60148

Бесплатно

Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!

Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ

При поддержке

Онлайн школа подготовки к ЕГЭ

ОБЩЕСТВО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ «НОВАЯ
ШКОЛА»
420500, РЕСПУБЛИКА ТАТАРСТАН, М.Р-Н ВЕРХНЕУСЛОНСКИЙ, Г.П. ГОРОД ИННОПОЛИС, Г ИННОПОЛИС, УЛ УНИВЕРСИТЕТСКАЯ, Д. 5, ЭТАЖ 1, ПОМЕЩ. 111

Новая Школа

Тренажёр ОГЭ Тренажёр ЕГЭ О Новой Школе Вакансии Отзывы Сведения об образовательной организации Образовательная лицензия

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение

Саша — ассистент в телеграмме

ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются