Задание №71246 ЕГЭ Профильной математике

Пусть ${\mathrm{A}}_1$ – событие, что яблоко выбрано от первого фермера, $\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_1\right)={\mathrm{p}}_1$

Пусть ${\mathrm{A}}_2$ – событие, что яблоко выбрано от второго фермера, $\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_2\right)={\mathrm{p}}_2$

Пусть $\mathrm{B}$ – событие, что яблоко высшего качества.

Из условия задачи:
$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mathrm{\mid }{\mathrm{A}}_1\right)=0,1$
$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mathrm{\mid }{\mathrm{A}}_2\right)=0,4$
$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=0,25$

Используем формулу Байеса:

$\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_1\mathrm{\mid }\mathrm{B}\right)=\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mathrm{\mid }{\mathrm{A}}_1\right)\cdot \mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_1\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}$

Рассчитаем вероятность $\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)$:

$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mathrm{\mid }{\mathrm{A}}_1\right)\cdot \mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_1\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mathrm{\mid }{\mathrm{A}}_2\right)\cdot \mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_2\right)$

Допустим, что ${\mathrm{p}}_1={\mathrm{p}}_2=0,5$ Тогда:

$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=0,1\cdot 0,5+0,4\cdot 0,5=0,05+0,2=0,25$

Тогда вероятность:

$\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_1\mathrm{\mid }\mathrm{B}\right)=\frac{0,1\cdot 0,5}{0,25}=0,2$