Задание №71531 ЕГЭ Профильной математике

Запишем исходное неравенство в виде:

$$\frac{{\log }_2(2-x)-{\log }_2(x+1)}{{\log }_2^2{x}^2+2{\log }_2{x}^2+1}\ge 0;$$

$$\frac{\log_2 (2-x) - \log_2 (x+1)}{(\log_2 x^2 + 1)^2} \geq 0.$$

Значение знаменателя $(\log_2 x^2 + 1)^2$ не определено при $x=0$ равно нулю при $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и при $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и положительно при других значениях $x$.

При $x \neq -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x \neq 0$и $x \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$ неравенство принимает вид:

$${\log }_2(2-x)-{\log }_2(x+1)\ge 0;{\log }_2(x+1)\le {\log }_2(2-x);0<x+1\le 2-x,$$

откуда $-1 < x \leq \frac{1}{2}$. Учитывая условия $x \neq -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x \neq 0$и $x \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$$-1<x<-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}<x<0;0<x\le \frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $\left(-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{1}{2}\right]$