Задание №75595 ЕГЭ Профильной математике

$\frac{4^{\mathit{x}}+16}{4^{\mathit{x}}-16}+\frac{4^{\mathit{x}}-16}{4^{\mathit{x}}+16}\ge \frac{4·4^{\mathit{x}+1}+480}{{16}^{\mathit{x}}-256}$;

$\frac{{\left(4^{\mathit{x}}+16\right)}^2+{\left(4^{\mathit{x}}-16\right)}^2}{\left(4^{\mathit{x}}-16\right)\left(4^{\mathit{x}}+16\right)}\ge \frac{4·4^{\mathit{x}+1}+480}{\left(4^{\mathit{x}}-16\right)\left(4^{\mathit{x}}+16\right)}$,

$\frac{4^{2\mathit{x}}+32·4^{\mathit{x}}+256+4^{2\mathit{x}}-32·4^{\mathit{x}}+256-480-16·4^{\mathit{x}}}{\left(4^{\mathit{x}}-16\right)\left(4^{\mathit{x}}+16\right)}\ge 0$,

$\frac{4^{2\mathit{x}}-8·4^{\mathit{x}}+16}{\left(4^{\mathit{x}}-16\right)\left(4^{\mathit{x}}+16\right)}\ge 0$,

$\frac{{\left(4^{\mathit{x}}-4\right)}^2}{\left(4^{\mathit{x}}-16\right)\left(4^{\mathit{x}}+16\right)}\ge 0$.

Обозначим $4^{\mathit{x}}=\mathit{t},\mathit{t}>0$ и найдём решения неравенства $\frac{{\left(\mathit{t}-4\right)}^2}{\left(\mathit{t}-16\right)\left(\mathit{t}+16\right)}\ge 0$.

Числитель положительное число, либо равное нулю при $\mathit{t}=4$, то есть $4^{\mathit{x}}=4,\mathit{x}=1$.

Знаменатель - положительное число при  или $\mathit{t}>16$.

А так как $\mathit{t}>0$, то $\mathit{t}>16$, то есть $4^{\mathit{x}}>16,\mathit{x}>2$.

Итак, $\mathit{x}\in 1\cup \left(2;+\mathit{\infty }\right)$.