Задание №75597 ЕГЭ Профильной математике

$\frac{50·3^{\mathit{x}}-100+50·3^{-\mathit{x}}}{3^{\mathit{x}}+3^{-\mathit{x}}+2}-\frac{20+20·3^{\mathit{x}}}{3^{\mathit{x}}+1}\le \frac{5·3^{\mathit{x}+1}-15}{3^{\mathit{x}}+1}$.

Выполним преобразования, обозначив $3^{\mathit{x}}=\mathit{t},\mathit{t}>0$.

$\frac{50\mathit{t}+\frac{50}{\mathit{t}}-100}{\mathit{t}+\frac{1}{\mathit{t}}+2}-\frac{20+20\mathit{t}}{\mathit{t}+1}\le \frac{15\mathit{t}-15}{\mathit{t}+1}$,

$\frac{50\left({\mathit{t}}^2-2\mathit{t}+1\right)}{{\mathit{t}}^2+2\mathit{t}+1}-\frac{20\left(1+\mathit{t}\right)}{\mathit{t}+1}\le \frac{15\left(\mathit{t}-1\right)}{\mathit{t}+1}$

Так как $\mathit{t}>0$, то ${\mathit{t}}^2+2\mathit{t}+1>0$ и $\mathit{t}+1>0$

 

Значит мы можем привести неравенство к следующему виду

 

$50\left({\mathit{t}}^2-2\mathit{t}+1\right)-20{\left(\mathit{t}+1\right)}^2-15\left(\mathit{t}-1\right)\left(\mathit{t}+1\right)\le 0$,

$50{\mathit{t}}^2-100\mathit{t}+50-20{\mathit{t}}^2-40\mathit{t}-20-15{\mathit{t}}^2+15\le 0$,

$15{\mathit{t}}^2-140\mathit{t}+45\le 0,3{\mathit{t}}^2-28\mathit{t}+9\le 0$.

$3{\mathit{t}}^2-28\mathit{t}+9=0,\mathit{D}={28}^2-27·4=676={26}^2$.

${\mathit{t}}_1=\frac{1}{3},{\mathit{t}}_2=9$.

Решением неравенства $3{\mathit{t}}^2-28\mathit{t}+9\le 0$ будет $\mathit{t}\in \left[\frac{1}{3};9\right]$.

Переходя к переменной $\mathit{x}$, получаем $3^{\mathit{x}}\in \left[\frac{1}{3};9\right],\mathit{x}\in \left[-1;2\right]$.