Задание №75598 ЕГЭ Профильной математике

$\frac{45\left(2^{\mathit{x}}+2^{-\mathit{x}}-2\right)}{2^{\mathit{x}}+2^{-\mathit{x}}+2}-\frac{21\left(2^{\mathit{x}}+1\right)}{2^{\mathit{x}}+1}⩽\frac{2^3\left(2^{\mathit{x}}-1\right)}{2^{\mathit{x}}+1}$

Выполним преобразования, обозначим $2^{\mathit{x}}=\mathit{t}$, $\mathit{t}>0$

Тогда неравенство примет вид: $\frac{45\left(\mathit{t}+\frac{1}{\mathit{t}}-2\right)}{\mathit{t}+\frac{1}{\mathit{t}}+2}-\frac{21\left(\mathit{t}+1\right)}{\mathit{t}+1}⩽\frac{8\left(\mathit{t}-1\right)}{\mathit{t}+1}$, $\frac{45\cdot {\left(\mathit{t}-1\right)}^2}{{\left(\mathit{t}+1\right)}^2}-21⩽\frac{8\left(\mathit{t}-1\right)}{\mathit{t}+1}$, $\frac{45{\left(\mathit{t}-1\right)}^2}{{\left(\mathit{t}+1\right)}^2}-\frac{8\left(\mathit{t}-1\right)}{\mathit{t}+1}-21⩽0$, $\frac{45{\left(\mathit{t}-1\right)}^2-8\left({\mathit{t}}^2-1\right)-21{\left(\mathit{t}+1\right)}^2}{{\left(\mathit{t}+1\right)}^2}⩽0$; ${\left(\mathit{t}+1\right)}^2>0$

Cледовательно, $45{\left(\mathit{t}-1\right)}^2-8\left({\mathit{t}}^2-1\right)-21{\left(\mathit{t}+1\right)}^2⩽0$, $45{\mathit{t}}^2-90\mathit{t}+45-8{\mathit{t}}^2+8-21{\mathit{t}}^2-42\mathit{t}-21⩽0$, $16{\mathit{t}}^2-132\mathit{t}+32⩽0$, $16{\mathit{t}}^2-132\mathit{t}+32=0$, $4{\mathit{t}}^2-33\mathit{t}+8=0$, $\mathit{D}={33}^2-32\cdot 4=961={31}^2$. ${\mathit{t}}_{1,2}=\frac{33\pm 31}{8}$, ${\mathit{t}}_1=8$; ${\mathit{t}}_2=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

Решением неравенства $4{\mathit{t}}^2-33\mathit{t}+8⩽0$ будет $\mathit{t}\in \left[\frac{1}{4};8\right]$, то есть, переходя к переменной $\mathit{x}$, получаем $2^{\mathit{x}}\in \left[\frac{1}{4};8\right]$, $\mathit{x}\in \left[-2;3\right]$.