Задание №75599 ЕГЭ Профильной математике

Преобразуем исходное неравенство: $\frac{\left(3\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_9\mathit{x}+1\right)-\left(3-\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_9\mathit{x}\right)\left(2\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_9\mathit{x}+3\right)}{2\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_9\mathit{x}+3}\le 0$.

Обозначим $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_9\mathit{x}=\mathit{t}$.

Тогда неравенство примет вид: $\frac{3\mathit{t}+1-\left(3-\mathit{t}\right)\left(2\mathit{t}+3\right)}{2\mathit{t}+3}\le 0$.

$\frac{2{\mathit{t}}^2-8}{2\mathit{t}+3}\le 0,\frac{\left(\mathit{t}-2\right)\left(\mathit{t}+2\right)}{\mathit{t}+\frac{3}{2}}\le 0.$

Последнее неравенство решим методом интервалов.

$\left(\mathit{t}-2\right)\left(\mathit{t}+2\right)=0,\mathit{t}=-2;\mathit{t}=2.$

$\mathit{t}+\frac{3}{2}\ne 0,\mathit{t}\ne -\frac{3}{2}.$

Получим $\mathit{t}\in \left(-\mathit{\infty };-2\right]\cup \left(-\frac{3}{2};2\right].$

Вернёмся к исходной переменной.

$[\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{\log }_9\mathit{x}>-\frac{3}{2}\\ {\log }_9\mathit{x}\le 2\\ \end{array}\\ {\log }_9\mathit{x}\le -2\\ \end{array}$ 

  $\mathit{x}\in \left(0;\frac{1}{81}\right]\cup \left(\frac{1}{27};81\right].$