Задание №75600 ЕГЭ Профильной математике

Преобразуем исходное неравенство: $\frac{11\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_4\mathit{x}-28+\left(3\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_4\mathit{x}-4\right)\left(2\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_4\mathit{x}-1\right)}{2\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_4\mathit{x}-1}\ge 0$.

Обозначим $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_4\mathit{x}=\mathit{t}$.

Тогда неравенство примет вид: $\frac{11\mathit{t}-28+6{\mathit{t}}^2-11\mathit{t}+4}{2\mathit{t}-1}\ge 0$.

$\frac{6{\mathit{t}}^2-24}{2\mathit{t}-1}\ge 0,\frac{\left(\mathit{t}-2\right)\left(\mathit{t}+2\right)}{\mathit{t}-\frac{1}{2}}\ge 0.$

Последнее неравенство решим методом интервалов.

$\left(\mathit{t}-2\right)\left(\mathit{t}+2\right)=0,\mathit{t}=2;\mathit{t}=-2.$

$\mathit{t}-\frac{1}{2}\ne 0,\mathit{t}\ne \frac{1}{2}.$

Получим $\mathit{t}\in \left[-2;\frac{1}{2}\right)\cup \left[2;+\mathit{\infty }\right).$

Вернёмся к исходной переменной.

 

 $\mathit{x}\in \left[\frac{1}{16};2\right)\cup \left[16;+\mathit{\infty }\right).$