Задание №75602 ЕГЭ Профильной математике

ОДЗ уравнения $\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-1>0\\ \mathrm{9}\left(\mathit{x}-1\right)\ne 1\\ \end{array}$ то есть $\mathit{x}>1,\mathit{x}\ne \frac{10}{9}$.

Используя формулу $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\mathit{a}}\mathit{b}=\frac{\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\mathit{c}}\mathit{b}}{\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\mathit{c}}\mathit{a}}$, получаем $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{9\left(\mathit{x}-1\right)}3=\frac{1}{\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_3\left(\mathit{x}-1\right)+2}$.

Неравенство примет вид $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_3\left(\mathit{x}-1\right)\le 4-\frac{9}{\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_3\left(\mathit{x}-1\right)+2}$. Пусть $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_3\left(\mathit{x}-1\right)=\mathit{t}$, тогда $\mathit{t}-4+\frac{9}{\mathit{t}+2}\le 0,\frac{{\left(\mathit{t}-1\right)}^2}{\mathit{t}+2}\le 0,\mathit{t}=1$ или .

$\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_3\left(\mathit{x}-1\right)=1$, откуда $\mathit{x}-1=3,\mathit{x}=4$ или , откуда . Учитывая ОДЗ, получим .