Задание №75603 ЕГЭ Профильной математике

Заметим, что $\mathit{x}>0,\mathit{x}\ne \frac{1}{3},\mathit{x}\ne 1$.

Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

$\frac{2}{\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_3\mathit{x}}+\frac{3}{\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{3}3\mathit{x}}\le 2,$

$\frac{2}{\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_3\mathit{x}}+\frac{3}{\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{3}3+\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_3\mathit{x}}\le 2,$

$\frac{2}{\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_3\mathit{x}}+\frac{3}{1+\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_3\mathit{x}}\le 2$

Пусть $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_3\mathit{x}=\mathit{t}$, тогда получим неравенство, которое удобно решить методом интервалов:

$\frac{2}{\mathit{t}}+\frac{3}{1+\mathit{t}}\le 2$,

$\frac{2\left(1+\mathit{t}\right)+3\mathit{t}-2\mathit{t}\left(1+\mathit{t}\right)}{\mathit{t}\left(1+\mathit{t}\right)}\le 0$,

$\frac{2{\mathit{t}}^2-3\mathit{t}-2}{\mathit{t}\left(1+\mathit{t}\right)}\ge 0$,

$\frac{\left(2\mathit{t}+1\right)\left(\mathit{t}-2\right)}{\mathit{t}\left(\mathit{t}+1\right)}\ge 0.$

Получим два простых неравенства и одно двойное, решим их, возвращаясь к переменной $\mathit{x}$:

 

Так как найденные значения переменной удовлетворяют ОДЗ, то решение неравенства — $\left(0;\frac{1}{3}\right)\cup \left[\frac{1}{\sqrt{3}};1\right)\cup \left[9;+\mathit{\infty }\right)$.