Задание №75606 ЕГЭ Профильной математике

$\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\left|\mathit{x}+4\right|}\left(16+14\mathit{x}-2{\mathit{x}}^2\right)\ge 2$.

ОДЗ:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{}16+14\mathit{x}-2{\mathit{x}}^2>0\\ \mathrm{}\mathit{x}+4\ne 0\\ \mathrm{}\left|\mathit{x}+4\right|\ne 1\\ \end{array}$

$\mathit{x}\in \left(-1;8\right)$.

$\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\left|\mathit{x}+4\right|}\left(16+14\mathit{x}-2{\mathit{x}}^2\right)\ge \mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\left|\mathit{x}+4\right|}{\left(\mathit{x}+4\right)}^2$.

$\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\left|\mathit{x}+4\right|}\left(16+14\mathit{x}-2{\mathit{x}}^2\right)-\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\left|\mathit{x}+4\right|}{\left(\mathit{x}+4\right)}^2\ge 0$.

На ОДЗ заменим полученное неравенство равносильными неравенствами, применив дважды метод рационализации:

1) знак $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\mathit{a}}\mathit{f}-\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\mathit{a}}\mathit{g}$ совпадает со знаком $\left(\mathit{a}-1\right)\left(\mathit{f}-\mathit{g}\right)$.

2) знак $\left|\mathit{f}\right|-|\mathit{g}|$ совпадает со знаком $\left(\mathit{f}-\mathit{g}\right)\left(\mathit{f}+\mathit{g}\right)$.

Согласно 1: $\left(\left|\mathit{x}+4\right|-1\right)\left(16+14\mathit{x}-2{\mathit{x}}^2-{\mathit{x}}^2-8\mathit{x}-16\right)\ge 0,\left(\left|\mathit{x}+4\right|-1\right)\left(-3{\mathit{x}}^2+6\mathit{x}\right)\ge 0$.

Разделим обе части неравенства на $-3$.

$\left(\left|\mathit{x}+4\right|-1\right)\left({\mathit{x}}^2-2\mathit{x}\right)\le 0$.

Согласно 2: $\left(\mathit{x}+4-1\right)\left(\mathit{x}+4+1\right)\mathit{x}\left(\mathit{x}-2\right)\le 0,\mathit{x}\left(\mathit{x}+3\right)\left(\mathit{x}+5\right)\left(\mathit{x}-2\right)\le 0$.

$-5\le \mathit{x}\le -3,0\le \mathit{x}\le 2$.

Учитывая ОДЗ, получим:

$0\le \mathit{x}\le 2$.