Задание №75608 ЕГЭ Профильной математике

$\frac{4^{\mathit{x}}+27·2^{\mathit{x}}+18}{2^{2\mathit{x}}+8·2^{\mathit{x}}+12}\ge 1+2^{\mathit{x}}-\frac{2^{\mathit{x}}-3}{2^{\mathit{x}}+6}$.

Обозначим $2^{\mathit{x}}=\mathit{t},\mathit{t}>0$. Неравенство примет вид:

$\frac{{\mathit{t}}^2+27\mathit{t}+18}{{\mathit{t}}^2+8\mathit{t}+12}\ge 1+\mathit{t}-\frac{\mathit{t}-3}{\mathit{t}+6}$,

$\frac{{\mathit{t}}^2+8\mathit{t}+12+19\mathit{t}+6}{{\mathit{t}}^2+8\mathit{t}+12}\ge 1+\mathit{t}-\frac{\mathit{t}-3}{\mathit{t}+6}$,

$1+\frac{19\mathit{t}+6}{\left(\mathit{t}+2\right)\left(\mathit{t}+6\right)}\ge 1+\mathit{t}-\frac{\mathit{t}-3}{\mathit{t}+6}$,

$\frac{19\mathit{t}+6}{\left(\mathit{t}+2\right)\left(\mathit{t}+6\right)}-\mathit{t}+\frac{\mathit{t}-3}{\mathit{t}+6}\ge 0$,

$-\frac{\mathit{t}\left({\mathit{t}}^2+7\mathit{t}-6\right)}{\left(\mathit{t}+2\right)\left(\mathit{t}+6\right)}\ge 0$.

Полученное неравенство при условии $\mathit{t}>0$ равносильно неравенству ${\mathit{t}}^2+7\mathit{t}-6\le 0$ (так как $\mathit{t}>0,\mathit{t}+2>0$ и $\mathit{t}+6>0$),

,

,

$\mathit{x}\le \mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_2\frac{\sqrt{73}-7}{2}$.