Задание №75609 ЕГЭ Профильной математике

$\frac{3^{2\mathit{x}}+2·3^{\mathit{x}}+2}{3^{2\mathit{x}}+2·3^{\mathit{x}}}\le 4+\frac{1}{3^{\mathit{x}}}-\frac{3·3^{\mathit{x}}+1}{3^{\mathit{x}}-1}$.

Обозначим $3^{\mathit{x}}=\mathit{t},\mathit{t}>0$. Неравенство примет вид:

$\frac{{\mathit{t}}^2+2\mathit{t}+2}{{\mathit{t}}^2+2\mathit{t}}\le 4+\frac{1}{\mathit{t}}-\frac{3\mathit{t}+1}{\mathit{t}-1}$,

$1+\frac{2}{\mathit{t}\left(\mathit{t}+2\right)}-4-\frac{1}{\mathit{t}}+\frac{3\mathit{t}+1}{\mathit{t}-1}\le 0$,

$\frac{3\left(\mathit{t}+3\right)\mathit{t}}{\mathit{t}\left(\mathit{t}-1\right)\left(\mathit{t}+2\right)}\le 0$. Воспользуемся условием $\mathit{t}>0$.

Так как при этом $\mathit{t}+3>0$ и $\mathit{t}+2>0$, то неравенство верно при , то есть . Тогда .