Задание №75611 ЕГЭ Профильной математике

В правой части неравенства стоит $0$, в левой - произведение двух множителей. Определим знаки каждого из этих множителей.

При $\mathit{x}=\frac{10}{7}$ выражение $7\mathit{x}-10=0$, при $\mathit{x}>\frac{10}{7}$ выражение $7\mathit{x}-10>0$, а при  выражение .

Рассмотрим выражение $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{4\mathit{x}-3}\left({\mathit{x}}^2-4\mathit{x}+9\right)$. Заметим, что ${\mathit{x}}^2-4\mathit{x}+9={\left(\mathit{x}-2\right)}^2+5\ge 5$ при любых значениях $\mathit{x}$. Значит, при $4\mathit{x}-3>1$, то есть при $\mathit{x}>1$, выражение $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{4\mathit{x}-3}\left({\mathit{x}}^2-4\mathit{x}+9\right)>0$, при , то есть при  и не определено при $\mathit{x}\le \frac{3}{4}$ и $\mathit{x}=1$.

Удобно знаки сомножителей отметить на двух параллельных прямых.

Таким образом, решение исходного неравенства: .