Задание №84917 ЕГЭ Профильной математике

Решите неравенство:

$16\cdot 5^{1-\frac{8}{\mathrm{x}}}-189\cdot {20}^{-\frac{4}{\mathrm{x}}}+25\cdot 2^{-\frac{16}{\mathrm{x}}}\le 0.$

Ограничение: $\mathrm{x}\ne 0$.

Разбираем степени, приводим к одному виду:

$16\cdot 5^{1-\frac{8}{\mathrm{x}}}=16\cdot 5\cdot 5^{-\frac{8}{\mathrm{x}}}=80\cdot 5^{-\frac{8}{\mathrm{x}}}$

$25\cdot 2^{-\frac{16}{\mathrm{x}}}=25\cdot 2\cdot 2^{-\frac{16}{\mathrm{x}}}=100\cdot 4^{-\frac{8}{\mathrm{x}}}$

Подставляем в неравенство:

$80\cdot {\left(5^{-\frac{4}{\mathrm{x}}}\right)}^2-189\cdot 4^{-\frac{4}{\mathrm{x}}}\cdot 5^{-\frac{4}{\mathrm{x}}}+100\cdot {\left(4^{-\frac{4}{\mathrm{x}}}\right)}^2\le 0$

Обозначим: ${\left(\frac{5}{4}\right)}^{-\frac{4}{\mathrm{x}}}=\mathrm{m}$

Перепишем:

$80{\mathrm{m}}^2-189\mathrm{m}+100\le 0$

$80{\mathrm{m}}^2-189\mathrm{m}+100=0$

${\mathrm{n}}_1+{\mathrm{n}}_2=\frac{189}{80},{\mathrm{n}}_1\cdot {\mathrm{n}}_2=8000$

${\mathrm{n}}_1=125,{\mathrm{n}}_2=64$

${\mathrm{m}}_1=\frac{{\mathrm{n}}_1}{80}=\frac{125}{80}=\frac{25}{16}$

${\mathrm{m}}_2=\frac{{\mathrm{n}}_2}{80}=\frac{64}{80}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

$\frac{4}{5}\le \mathrm{m}\le \frac{25}{16}$

Подставляем:

$\frac{4}{5}\le {\left(\frac{5}{4}\right)}^{-\frac{4}{\mathrm{x}}}\le \frac{25}{16}$

${\left(\frac{5}{4}\right)}^{-1}\le {\left(\frac{5}{4}\right)}^{-\frac{4}{\mathrm{x}}}\le {\left(\frac{5}{4}\right)}^2$

$-1\le -\frac{4}{\mathrm{x}}\le 2$

Так как минус и дроби, разделим на 2 неравенства:

 $-1\le -\frac{4}{\mathrm{x}}$

$$\begin{gathered} -1+\frac{4}{\mathrm{x}}\le 0 \\ \frac{4-\mathrm{x}}{\mathrm{x}}\le 0 \end{gathered}$$

Решение: $\mathrm{x}=4,\mathrm{x}\ne 0$

 $-\frac{4}{\mathrm{x}}\le 2.$

$$\begin{gathered} -\frac{4}{\mathrm{x}}-2\le 0 \\ -4-2\mathrm{x}\le 0 \\ \mathrm{x}=-2,\mathrm{x}\ne 0 \end{gathered}$$

Объединяя области, получаем:

$$(-\infty; -2] \cup [4; +\infty).$$