Задание №89374 ЕГЭ Профильной математике

1) Пусть $\mathrm{K}$ – середина $\mathrm{AC}$, $\mathrm{SX},\mathrm{AL}$ – медианы грани $\mathrm{ASB}$, $\mathrm{CL},\mathrm{SY}$ – медианы грани $\mathrm{CSB}$, $\mathrm{AL}\cap \mathrm{SX}=\mathrm{M},\mathrm{CL}\cap \mathrm{SY}=\mathrm{N}$. $\mathrm{SO}$ – высота пирамиды.

Найдем сечение пирамиды плоскостью $\mathrm{MNK}$.
Т.к. пирамида правильная, то $\mathrm{△}\mathrm{SXY}$ – равнобедренный, $\mathrm{SM}=\mathrm{SN}=\frac{2}{3}\mathrm{SX}\Rightarrow \mathrm{MN}\parallel \mathrm{XY}\Rightarrow \mathrm{MN}\parallel \left(\mathrm{ABC}\right)$. Таким образом, плоскость $\mathrm{MNK}$ содержит прямую $\mathrm{MN}$, параллельную $\mathrm{ABC}$, следовательно, плоскость $\mathrm{MNK}$ пересечет плоскость $\mathrm{ABC}$ по прямой, параллельной $\mathrm{MN}$ (если это не так, то линия пересечения этих плоскостей $\mathrm{l}\cap \mathrm{MN}=\mathrm{E}\Rightarrow \mathrm{E}\in \left(\mathrm{ABC}\right)$ и $\mathrm{E}\in \mathrm{MN}\Rightarrow \mathrm{MN}$ не может быть параллельна $\left(\mathrm{ABC}\right)$).

Прямая, проходящая через точку $\mathrm{K}$ и параллельная $\mathrm{MN}$ (или $\mathrm{XY}$) – это $\mathrm{AC}$. Следовательно, сечением является равнобедренный треугольник $\mathrm{ALC}$.