Задание №89373 ЕГЭ Профильной математике

1) Пусть $\mathrm{AC}\cap \mathrm{BD}=\mathrm{O}$. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.



Заметим, что т.к. $\mathrm{\angle }\mathrm{SAB}=\mathrm{\angle }\mathrm{SAD}={90}^{\circ }\Rightarrow \mathrm{SA}\perp \left(\mathrm{ABC}\right)$.

Проведем в плоскости $\mathrm{SAC}$ прямую $\mathrm{OK}\parallel \mathrm{SC}$. Т.к. $\mathrm{O}$– середина $\mathrm{AC}$, то по теореме Фалеса $\mathrm{K}$ – середина $\mathrm{SA}$. Через точку $\mathrm{K}$ в плоскости $\mathrm{SAB}$ проведем $\mathrm{KM}\parallel \mathrm{SB}$ (следовательно, $\mathrm{M}$ – середина $\mathrm{AB}$). Таким образом, плоскость, проходящая через прямые $\mathrm{OK}$ и $\mathrm{KM}$, и будет искомой плоскостью.

Необходимо найти сечение пирамиды этой плоскостью. Соединив точки $\mathrm{O}$ и $\mathrm{M}$, получим прямую $\mathrm{MN}$.

Т.к. $\mathrm{\alpha }\parallel \left(\mathrm{SBC}\right)$,то $\mathrm{\alpha }$ пересечет плоскость $\mathrm{SCD}$ по прямой $\mathrm{NP}\parallel \mathrm{SC}$ (если $\mathrm{NP}\cap \mathrm{SC}\ne \mathrm{\varnothing }$, то $\mathrm{\alpha }\cap \left(\mathrm{SBC}\right)\ne \mathrm{\varnothing }$, что невозможно ввиду их параллельности).

Таким образом, $\mathrm{KMNP}$ – искомое сечение, причем $\mathrm{KP}\parallel \mathrm{AD}\parallel \mathrm{MN}\Rightarrow$ это трапеция.