Задание №89465 ЕГЭ Профильной математике

Преобразуем неравенство:

$$\begin{gathered} {\left((\mathrm{x}+1\right)}^{-1}-{{(\mathrm{x}+6)}^{-1})}^2\le \frac{\left|{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}\right|}{{({\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}+6)}^2} \\ \frac{\left|{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}\right|-25}{{({\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}+6)}^2}\ge 0 \\ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ne -6\\ \mathrm{x}\ne -1\\ \left|{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}\right|\ge 25\end{array}\right. \end{gathered}$$

Решим неравенство $\left|{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}\right|\ge 25$

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}-25\ge 0\\ {\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+25\ge 0\end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}\ge 5+5\sqrt{2}\\ \mathrm{x}\ge 5-5\sqrt{2}\\ \mathrm{x}=5.\end{array}\right. \end{gathered}$$

Исключая из полученного набора точки −6 и −1 получаем множество решений исходного неравенства: $\left(-\infty ;-6\right)\cup (-6;5-5\sqrt{2}]\cup \left\{5\right\}\cup [5+5\sqrt{2};+\infty ).$