Задание №89471 ЕГЭ Профильной математике

Неравенство имеет смысл при $\frac{2}{3}\mathrm{х}-\frac{2}{3}\ne 0,$ то есть при $\mathrm{х}\ne 1.$

Пусть ${\left|\frac{2}{3}\mathrm{х}-\frac{2}{3}\right|}^{\mathrm{х}-1,2}=\mathrm{t}.$ Тогда неравенство принимает вид $\mathrm{t}+\frac{1}{\mathrm{t}}\le 2,$ откуда $\mathrm{t}=1$ или $\mathrm{t}<0.$ При всех допустимых x основание степени положительно и, следовательно, $\mathrm{t}>0.$ Значит, неравенство выполняется только при $\mathrm{t}=1.$

Выясним, при каких x это происходит:

$$\begin{gathered} {\left|\frac{2}{3}\mathrm{x}-\frac{2}{3}\right|}^{\mathrm{x}-1,2}=1 \\ \left[\begin{array}{c}\left|\frac{2}{3}\mathrm{x}-\frac{2}{3}\right|=1\\ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-1,2=0\\ \frac{2}{3}\mathrm{x}-\frac{2}{3}\ne 0\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=2,5\\ \mathrm{x}=1,2\\ \mathrm{x}=-0,5.\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $\left\{-0,5; 1,2; 2,5\right\}.$