Задание №95578. Решите неравенство

Задание №95578 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #95578

Решите неравенство $дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка минус 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 16, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 .$

Ответ

Ответ:

Решение

Рассмотрим числитель дроби:
$2 в степени левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка минус 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 16 = 2 в степени левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка минус 8 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 20 умножить на 2 в степени x минус 16.$

Пусть $2 в степени x = t,$ получим: $t в кубе минус 8t в квадрате плюс 20t минус 16.$ Заметим, что t  =  2 является корнем данного многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители, разделим его на t − 2 «в столбик» или применив схему Горнера. Таким образом, имеем:

$t в кубе минус 8t в квадрате плюс 20t минус 16 = левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 6t плюс 8 правая круглая скобка = левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка .$

Вернемся к исходному неравенству:

$дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка минус 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 16, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0.$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого рационализируем неравенство, применив теорему о знаках: при положительных a выражения $левая круглая скобка a в степени b минус a в степени c правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка$ имеют одинаковые знаки. Получим:

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в степени 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений x не равно 1, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше 1, x больше или равно 2. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот