Для параболы, которая является графиком функции y = x2 + 6x + 5, определите: а) координаты вершины; б) наименьшее (наибольшее) значение функции; в) координаты точек пересечения с…

Для функции \( y = x^2 + 6x + 5 \) можно выполнить следующие шаги для определения указанных значений:

а) Координаты вершины параболы

Парабола, заданная квадратичной функцией \( y = ax^2 + bx + c \), имеет вершину, координаты которой можно найти по формуле: \[ x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 6 \), \( c = 5 \).

Подставим значения: \[ x_{\text{вершины}} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3 \]

Теперь подставим \( x = -3 \) обратно в уравнение, чтобы найти \( y \): \[ y_{\text{вершины}} = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \]

Таким образом, координаты вершины: \[ (-3, -4) \]

б) Наименьшее (наибольшее) значение функции

Поскольку парабола открыта вверх (коэффициент при \( x^2 \) положительный), функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение функции равно \( y \) вершины: \[ y_{\text{min}} = -4 \]

в) Координаты точек пересечения с осями координат

1. Пересечение с осью Y: Для нахождения точки пересечения с осью Y, подставим \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^2 + 6 \cdot 0 + 5 = 5 \] Следовательно, точка пересечения с осью Y: \( (0, 5) \).

2. Пересечение с осью X: Для нахождения точек пересечения с осью X, решим уравнение \( 0 = x^2 + 6x + 5 \) или \( x^2 + 6x + 5 = 0 \). Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \] Так как \( D > 0 \), у уравнения два различных корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 4}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 4}{2} = -5 \]

Следовательно, точки пересечения с осью X: \( (-1, 0) \) и \( (-5, 0) \).

Итог

• Координаты вершины: \( (-3, -4) \)
• Наименьшее значение функции: \( -4 \)
• Точки пересечения с осями:
  • С осью Y: \( (0, 5) \)
  • С осью X: \( (-1, 0) \) и \( (-5, 0) \)