Решите уравнение
Чтобы решить уравнение \(\sqrt{6 - x} = x\), следуйте этим шагам:
Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
\[ (\sqrt{6 - x})^2 = x^2 \]
Это дает:
\[ 6 - x = x^2 \]
Преобразовать уравнение в стандартную форму квадратного уравнения:
Переносим все члены на одну сторону:
\[ x^2 + x - 6 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
Для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), используем формулу:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]
Здесь \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\).
Вычислим дискриминант:
\[ b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Найдем корни:
\[ x = \frac{{-1 \pm \sqrt{25}}}{2} \]
\[ x = \frac{{-1 \pm 5}}{2} \]
Это дает два решения:
\[ x_1 = \frac{{4}}{2} = 2 \]
\[ x_2 = \frac{{-6}}{2} = -3 \]
Проверка корней:
Корни нужно проверить, так как возведение в квадрат может вводить посторонние корни.
Подставляем \(x = 2\) в исходное уравнение:
\[ \sqrt{6 - 2} = 2 \implies \sqrt{4} = 2 \]
Условие выполняется.
Подставляем \(x = -3\) в исходное уравнение:
\[ \sqrt{6 - (-3)} = -3 \implies \sqrt{9} = -3 \]
Условие не выполняется (квадратный корень не может быть отрицательным).
Таким образом, единственное решение уравнения: \(x = 2\).
