Тренажёр ЕГЭ Профильная математика

В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝑀 лежит на катете 𝐴𝐶, а точка 𝑁 лежит на продолжении катета 𝐵𝐶 за точку 𝐶, причём 𝐶𝑀 = 𝐵𝐶 и 𝐶𝑁 = 𝐴𝐶.
Отрезки 𝐶𝑃 и 𝐶𝑄 − биссектрисы треугольников 𝐴𝐶𝐵 и 𝑁𝐶𝑀 соответственно.
а) Докажите, что 𝐶𝑃 и 𝐶𝑄 перпендикулярны.
б) Найдите 𝑃𝑄, если 𝐵𝐶 = 3, а 𝐴𝐶 = 5.

Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD = 3BC, CM  — высота трапеции.

а)  Доказать, что M делит AD в отношении 2 : 1.

б)  Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD = 18, AC =

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. На стороне AB
отмечена точка E так, что прямые CD и CE перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые BH и ED параллельны.

б) Найдите отношение BH к ED, если ∠BCD = 135°.

Около треугольника АВС описана окружность. Прямая ВО, где О − центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке Р.
а) Докажите, что ОР=АР.
б) Найдите расстояние от точки Р до прямой АС, если ∠АВС = 120°, а радиус описанной окружности равен 18. 

В треугольнике ABC стороны АВ:ВС:АС=3:4:5. Первая окружность вписана в треугольник АВС, а вторая касается AB и продолжения сторон BC и AC.

а) Доказать, что отношение радиусов окружностей равно 2 : 1.

б) Найти расстояние между точками касания окружностей стороны AB, если АС = 15.

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отложены соответственно отрезки 

а) Докажите, что

б) Найдите, какую часть от площади треугольника ABC составляет площадь треугольника MNK.

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 5R и CM = 1,5R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 4.