Задание №2385 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть вписанная окружность касается стороны AB в точке K. Обозначим BK = x. Пусть S — площадь треугольника, p — полупериметр.

AK=AM; MC=CT; BT=BK (отрезки касательных равны).

Тогда

С другой стороны, по формуле Герона

Из уравнения найдем:

Получили, что R = x. Стороны треугольника ABC равны 6,5R, 6R и 2,5R, следовательно, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B.

б) Пусть I и O — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Точка O — середина гипотенузы (особенность описанной окружности около прямоугольного треугольника в том, что ее центр лежит на середине гипотенузы) AC = 6,5R = 26, и OM = CO − CM = 13 − 1,5R = 7.

Тогда