Задание №53693 ЕГЭ Профильной математике

а) Продлим боковые стороны трапеции до их пересечения.
АВ⋂CD=O.
Отметим, что ∠BCE=∠HAD в силу равенства углов между парами параллельных прямых. Тогда △BCE ~ △HAD по двум углам. Из указанного подобия следует, что
BE/HD=EC/AD
так как CE||AH => △OCE ~ △OAD => CE/AD=OE/OD.
Из этих двух пропорций сделаем вывод о том, что BE/HD=OE/OD.

Преобразуем данную пропорцию:
BE/HD=OE/OD
BE/OE=HD/OD
(OE–OB)/OE=(OD–OH)/OD
1–OB/OE=1–OH/OD
OB/OE=OH/OD.

Из последнего равенства (по двум пропорциональным сторонам и углу) заключаем, что △OBH ~ △OED => ∠OHB=∠ODE => BH || ED .

б) ∠BCD=135° => ∠OCB=45° => △OBC — равнобедренный. Тогда OB=BC. Аналогичный вывод BC=BE сделаем из равнобедренности прямоугольного треугольника BEC (∠BCD=45°). Видно, что B — середина OE => k=2 — коэффициент подобия для △OBH и △OED . Следовательно BH:ED=1:2