Задание №89484 ЕГЭ Профильной математике

Проведем в плоскости $\mathrm{\alpha }$ через точку $\mathrm{M}$ прямую $\mathrm{a}\text{'}$, перпендикулярную проекции $\mathrm{HM}.$. Тогда по теореме о трех перпендикулярах $\mathrm{a}\text{'}\perp \mathrm{AM}$. По условию $\mathrm{a}\perp \mathrm{AM}$, мы показали, что $\mathrm{a}\text{'}\perp \mathrm{AM}$, тогда $\mathrm{a}\parallel \mathrm{a}\text{'}$. Тогда прямые $\mathrm{a}$ и $\mathrm{a}\text{'}$ параллельны и обе проходят через точку $\mathrm{M}$. Следовательно, $\mathrm{a}=\mathrm{a}\text{'}$ и $\mathrm{a}\perp \mathrm{HM}$. Мы только что доказали теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах