Задание №89685 ЕГЭ Профильной математике

$\angle \mathrm{BAC}=180°-20°-40°=120°,$ следовательно, $\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{CAD}=60°.$

Значит, $\angle \mathrm{CDA}=\angle \mathrm{BAD}+\angle \mathrm{ABD}=80°.$

Отметим на $\mathrm{BC}$ точку $\mathrm{A}\text{'}$ так, чтобы $\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}=\mathrm{AB}.$ Тогда разность $\mathrm{BC}-\mathrm{AB}$ равна длине отрезка $\mathrm{CA}\text{'}.$ Следовательно, его длину и необходимо найти.

Треугольник $\mathrm{AA}\text{'}\mathrm{B}$ равнобедренный с углом при вершине $20°.$ Значит, углы при основании равны $\frac{(180°-20°)}{2}=80°.$

То есть $\angle \mathrm{AA}\text{'}\mathrm{B}=80°,$ Следовательно, треугольник $\mathrm{AA}\text{'}\mathrm{D}$ тоже равнобедренный и $\mathrm{AA}\text{'}=\mathrm{AD}$.

Так как $\angle \mathrm{AA}\text{'}\mathrm{B}=80°,$ то $\angle \mathrm{CAA}\text{'}=120°-80°=40°,$ следовательно, треугольник $\mathrm{CAA}\text{'}$ тоже равнобедренный и $\mathrm{CA}\text{'}=\mathrm{AA}\text{'}=\mathrm{AD}=2.$ 

Следовательно,