Задание №89846 ЕГЭ Профильной математике

Введем систему координат:

В этой системе координат найдём координаты нужных нам для решения точек:
$$\begin{gathered} \mathrm{A}(\frac{\sqrt{3}}{2}; –\frac{1}{2}; 0) \\ \mathrm{F}₁(0; 0; 6) \\ \mathrm{C}₁(\sqrt{3}; 1; 6) \\ \mathrm{B}₁(\sqrt{3}; 0; 6) \end{gathered}$$

Найдём координаты двух неколлинеарных векторов, лежащих в плоскости $\mathrm{AF}₁\mathrm{C}₁$:

$$\begin{gathered} \stackrel{}{\overrightarrow{{\mathrm{AF}}_1}}=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},6) \\ \overrightarrow{\stackrel{}{{\mathrm{AC}}_1}}=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2},6) \end{gathered}$$

Обозначим через $\overrightarrow{\mathrm{n}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ — вектор нормали к плоскости $\mathrm{AF}₁\mathrm{C}₁$, координаты которого нам нужно найти.

Получим систему уравнений:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{\mathrm{AF}}_1}·\overrightarrow{\mathrm{n}}=0\\ \overrightarrow{{\mathrm{AC}}_1}·\overrightarrow{\mathrm{n}}=0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{x}+\frac{1}{2}\mathrm{y}+6\mathrm{z}=0\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{x}+\frac{3}{2}\mathrm{y}+6\mathrm{z}=0\end{array}\right.\end{array}$​

Отсюда получим:
$\overrightarrow{\mathrm{n}} = (1; –\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{6})$

Найдём координаты направляющего вектора $\overrightarrow{\mathrm{F}₁\mathrm{B}₁} = (\sqrt{3}; 0; 0)$

Тогда: $\sin \mathrm{\alpha }=\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{\mathrm{n}}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{F}}_1{\mathrm{B}}_1}\mathrm{\mid }}{\mid \overrightarrow{\mathrm{n}}\mid \cdot \mid \overrightarrow{{\mathrm{F}}_1{\mathrm{B}}_1}\mid }=\frac{2\sqrt{3}}{7}.$