Задание №89912 ЕГЭ Профильной математике

Достаточно доказать, что среди любых 7 различных цифр найдутся две, из которых можно составить число, кратное 4. Тогда это число можно будет поставить в конец числа, а остальные цифры расставить в произвольном порядке перед ними. Полученное число будет делиться на 4 в силу признака делимости на 4.

Среди 7 различных цифр обязательно найдутся по крайней мере две чётных (иначе среди них было бы по крайней мере 6 нечётных цифр, а нечётных цифр всего 5). Числа, кратные 4, можно составить из «хороших» пар чётных цифр (0, 2), (0, 4), (0, 6), (0, 8), (2, 4), (2, 8), (4, 6), (4, 8) и (6, 8). Остаётся ещё «плохая» пара (2, 6). Если других чётных цифр в наборе нет, то в нём должны содержаться все нечётные цифры (в том числе 1). Тогда, используя имеющиеся в наборе в этом случае цифры 1 и 6, можно составить число 16, кратное 4. Если же в наборе есть другие чётные цифры, то есть по крайней мере одна из «хороших» пар чётных цифр, а этот случай рассмотрен выше.