Найдите восьмой член геометрической прогрессии ( b n ) , (b n ), если её девятый член равен − 50 , −50, а десятый член равен − 125 . −125.
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый член, начиная с первого, получается умножением предыдущего члена на постоянное число, называемое "знаменателем прогрессии" (или "коэффициентом прогрессии").
Обозначим:
- \( b_n \) — n-й член прогрессии.
- \( r \) — знаменатель прогрессии.
Согласно свойствам геометрической прогрессии, мы можем выразить члены прогрессии следующим образом:
- Девятый член: \( b_9 = b_1 \cdot r^8 \)
- Десятый член: \( b_{10} = b_1 \cdot r^9 \)
По условию задачи - \( b_9 = -50 \) и \( b_{10} = -125 \).
Запишем уравнения для девятого и десятого членов. \[ b_9 = b_1 \cdot r^8 = -50 \] \[ b_{10} = b_1 \cdot r^9 = -125 \]
Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от \( b_1 \): \[ \frac{b_{10}}{b_9} = \frac{b_1 \cdot r^9}{b_1 \cdot r^8} \implies \frac{-125}{-50} = r \]
Это дает: \[ r = \frac{125}{50} = \frac{5}{2} \]
Теперь подставим значение \( r \) в первое уравнение, чтобы найти \( b_1 \): \[ b_9 = b_1 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^8 = -50 \] \[ b_1 \cdot \left(\frac{5^8}{2^8}\right) = -50 \] \[ b_1 \cdot \left(\frac{390625}{256}\right) = -50 \]
Теперь выразим \( b_1 \): \[ b_1 = -50 \cdot \frac{256}{390625} \] \[ b_1 = -\frac{12800}{390625} \]
Чтобы найти восьмой член \( b_8 \), используем формулу для n-го члена: \[ b_8 = b_1 \cdot r^7 \] Подставим значения \( b_1 \) и \( r \): \[ b_8 = -\frac{12800}{390625} \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^7 \] \[ \left(\frac{5}{2}\right)^7 = \frac{78125}{128} \] \[ b_8 = -\frac{12800}{390625} \cdot \frac{78125}{128} \]
Упростим: \[ b_8 = -\frac{12800 \cdot 78125}{390625 \cdot 128} \]
Давайте упростим это выражение. Мы можем заметить, что \( 390625 = 5^8 \) и поделить на 128. В итоге получим: \[ b_8 = -\frac{1000}{390625} = -\frac{1}{390.625} \]
Таким образом, восьмой член геометрической прогрессии: \[ b_8 \approx -0.00256 \]
Теперь мы можем сделать вывод. Восьмой член геометрической прогрессии составляет примерно \( -0.00256 \).
