Тренажёр ЕГЭ Профильная математика

В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 15 и BC = 9. Точка M — середина ребра AD. На ребре BC выбрана точка E так, что CE = 3, а на ребре AC выбрана точка F так, что CF = 5. Плоскость MEF пересекает ребро BD в точке N. Расстояние от точки M до прямой EF равно 

а) Докажите, что N — середина ребра BD.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MNF.

Дана правильная призма ABCA₁B₁C₁, у которой сторона основания AB = 4, а боковое ребро AA₁ = 9. Точка M — середина ребра AC, а на ребре AA₁ взята точка T так, что AT = 5.

а) Докажите, что плоскость BB₁M делит отрезок C₁T пополам.

б) Плоскость BTC₁ делит отрезок MB₁ на две части. Найдите длину меньшей из них.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA₁ = 2. Точки P и Q — середины рёбер A₁B₁ и CC₁ соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B₁C₁ в точке U.

а) Докажите, что B₁U : UC₁ = 2 : 1.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью APQ.

Дана правильная треугольная пирамида SABC, M — середина AB, N — середина CS.

а) Докажите, что проекции отрезков MN и AS на плоскость ABC равны.

б) Найдите объем пирамиды SABC, если AS = 8, MN = 5.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 4, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 18, а боковые рёбра равны 15. Точка R принадлежит ребру MB, причём MR: RB=2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки C и R параллельно прямой BD.

В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 10. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD=AE=LM=4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 4. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE:EA₁ = 3:1. Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.

В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD=BE=LA=2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.