Задание №89377 ЕГЭ Профильной математике

1) Так как точка $\mathrm{L}$ — точка пересечения плоскости $\mathrm{FNK}$ с ребром $\mathrm{AC}$, то (по свойству параллельных плоскостей) линии пересечения плоскости $\mathrm{FNK}$ с основанием призмы параллельны, т.е $\mathrm{FL}\Vert \mathrm{N}\mathrm{K}$.

2) В основаниях правильной треугольной призмы лежат правильные треугольники со стороной $12$.

В треугольнике ${\mathrm{NB}}_1\mathrm{K}$ $\angle \mathrm{B}1=60°,{\mathrm{NB}}_1=4$ по условию, а ${\mathrm{B}}_1\mathrm{K}=12-4=8$. По теореме косинусов $\mathrm{NK}=4\sqrt{3}$, поэтому ${\mathrm{NK}}^2+{\mathrm{NB}}_1^2={\mathrm{KB}}_1^2$. Отсюда следует, что $\angle \mathrm{N}=90°,\angle \mathrm{K}=30°$.

Значит, $\mathrm{NK}\perp {\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$ и $\mathrm{FL}\perp \mathrm{AB}$, т.к. $\mathit{N}\mathit{K}\Vert \mathit{F}\mathit{L}$, а ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\Vert \mathrm{A}\mathrm{B}$.

3) В $△\mathrm{AFL}$ $\angle \mathrm{A}=60°,\angle \mathrm{F}=90°,\mathrm{AF}=4$;

$\mathrm{AF}$ в прямоугольном $△\mathrm{AFL}$ лежит против $\angle \mathrm{L}=30°$, следовательно, $\mathrm{AF}=\frac{1}{2}\mathrm{AL},\mathrm{AL}=\mathrm{AF}·2=4·2=8$;

${\mathrm{FL}}^2={\mathrm{AL}}^2-{\mathrm{AF}}^2=8^2-4^2=64-16=48,\mathrm{FL}=4\sqrt{3}$.

Имеем $\mathrm{NK}\Vert \mathrm{F}\mathrm{L}$ и $\mathrm{NK}=\mathrm{FL}$, следовательно $\mathrm{FNKL}$ — параллелограмм.

Проведём $\mathrm{NE}\perp \mathrm{FB}$.

В $△\mathrm{NFE}$ $\angle \mathrm{E}=90°,\mathrm{NE}=4\sqrt{2},\mathrm{FE}=12-8=4$.

${\mathrm{FN}}^2={\mathrm{NE}}^2+{\mathrm{FE}}^2={\left(4\sqrt{2}\right)}^2+4^2=32+16=48$,

$\mathrm{FN}=\sqrt{48}=4\sqrt{3},\mathrm{KL}=\mathrm{FN}$ как противоположные стороны параллелограмма.

4) Имеем: $\mathrm{NK}=\mathrm{KL}=\mathrm{FN}=\mathrm{FL}$, следовательно, $\mathrm{FNKL}$ — ромб.

б) $\mathrm{KN}\perp {\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1,\mathrm{KN}\perp \mathrm{NE}\Rightarrow \mathrm{KN}\perp \left({\mathrm{AA}}_1{\mathrm{B}}_1\right)$ и $\mathrm{KN}\perp \mathrm{FN}$, значит $\mathrm{KNFL}$ — квадрат, ${\mathrm{S}}_{\mathrm{KNFL}}={\mathrm{FN}}^2=48$.

Построим сечение пирамиды плоскостью $\mathrm{FNK}$ .

Продлим $\mathrm{FL}$ до пересечения с $\mathrm{BC}$, получим точку $\mathrm{P}$.

Соединим точку $\mathrm{P}$ с точкой $\mathrm{K}$, $\text{KP}$ пересекает ${\mathrm{CC}}_1$ в точке $\mathrm{M}$. Соединим точку $\mathrm{M}$ с точкой $\mathrm{L}$.

Пятиугольник $\mathrm{FNKML}$ — искомое сечение.

В прямоугольном $△\mathrm{FBP}$ $\angle \mathrm{B}=60°$, значит $\mathrm{BP}=2\mathrm{FB}=16,\mathrm{PC}=16-12=4$.

${\mathrm{KC}}_1=\mathrm{CP},\angle {\mathrm{KC}}_1\mathrm{M}=\angle \mathrm{MCP}=90°$, тогда $△{\mathrm{KC}}_1\mathrm{M}=△\mathrm{PCM}$ и ${\mathrm{C}}_1\mathrm{M}=\mathrm{CM}=2\sqrt{2.}\mathrm{KM}=\sqrt{4^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{24}$.

В $△\mathrm{LMC}$ 

$$\begin{gathered} {\mathrm{LM}}^2={\mathrm{LC}}^2+{\mathrm{MC}}^2 \\ \mathrm{LC}=\mathrm{AC}-\mathrm{AL}=12-8=4 \\ \mathrm{MC}=\frac{1}{2}{\mathrm{CC}}_1=2\sqrt{2} \\ \sqrt{4^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{24} \\ \mathrm{KL}=\sqrt{48}. \end{gathered}$$

Следовательно, $△\mathrm{KLM}$ прямоугольный, ${\mathrm{S}}_{\mathrm{KLM}}=\frac{1}{2}{\left(\sqrt{24}\right)}^2=12$.

${\mathrm{S}}_{\mathrm{сеч}}={\mathrm{S}}_{\mathrm{KNFL}}+{\mathrm{S}}_{\mathrm{KLM}}=48+12=60$.