Задание №53692 ЕГЭ Профильной математике

а)  Проведем CH перпендикулярно АВ, тогда В1Н  — проекция В1С на плоскость АА1В1В. Полученная проекция перпендикулярна прямой BM (*), поэтому в силу теоремы о трёх перпендикулярах, прямые В1С и BM взаимно перпендикулярны.

Докажем (*). Заметим, что треугольники MAB и НВВ1 равны. Повернём НВВ1 на угол 90 по часовой стрелке и совместим точку B с точкой А. Сторона AM совместится со стороной HB, а сторона AB  — со стороной ВВ1. Поскольку после поворота на 90 стороны MB и НВ1 совместились, до поворота угол между ними был равен 90.

б)  Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них. Заметим, что МВ перпендикулярна В1Н и МВ перпендикулярна В1С, следовательно, МВ перпендикулярна плоскости В1НС, а тогда K  — проекция MB на плоскость В1НС. Проекцией прямой СВ1 на плоскость В1НС является сама прямая СВ1. Осталось найти расстояние от K до СВ1.

В треугольнике MAB находим Тогда в треугольнике HKB имеем: Треугольники В1НС и B1LK подобны (см. рис.):

Поэтому:

откуда