Задание №89376 ЕГЭ Профильной математике

Действительно, ${\mathrm{A}}_1\mathrm{D}||{\mathrm{B}}_1\mathrm{C}$ (плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым)

Рассмотрим прямоугольник ${\mathrm{CC}}_1{\mathrm{M}}_1\mathrm{M}$, где ${\mathrm{M}}_1$ середина ${\text{A}}_1{\mathrm{D}}_1$

Проведём ${\mathrm{C}}_1\mathrm{K}||\mathrm{MN}$. $\mathrm{K}$ — середина отрезка ${\mathrm{MM}}_1$ и середина отрезка ${\mathrm{A}}_1\mathrm{D}$, значит, принадлежит искомому сечению, поэтому ${\mathrm{C}}_1\mathrm{K}$ лежит в плоскости сечения. Таким образом, $A_1{C}_{1}D$ — искомое сечение.

б) Рассмотрим пирамиду ${\mathrm{D}}_1{\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1\mathrm{D}$ как пирамиду с основанием ${\mathrm{D}}_1{\mathrm{DC}}_1$ и высотой ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1({\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1\perp {\mathrm{D}}_1{\mathrm{DC}}_1)$.

${\mathrm{V}}_{{\mathrm{D}}_1{\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1\mathrm{D}}=\frac{1}{3}{\mathrm{S}}_{{\mathrm{D}}_1{\mathrm{DC}}_1}·{\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1=\frac{1}{3}·\frac{1}{2}{\mathrm{D}}_1{\mathrm{C}}_1·{\mathrm{D}}_1\mathrm{D}·{\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1=\frac{1}{6}·3·3·6=9$.