Задание №89375 ЕГЭ Профильной математике

По условию задачи сделаем чертёж.

а) Прямая $\mathrm{QR}$ перпендикулярна плоскости ${\mathrm{PP}}_1{\mathrm{R}}_1\mathrm{R}$, поскольку она перпендикулярна прямым $\mathrm{PR}$ и ${\mathrm{RR}}_1$. Значит, прямые $\mathrm{QR}$ и ${\mathrm{RP}}_1$ перпендикулярны, следовательно, в $△{\mathrm{P}}_1\mathrm{QR}$ $\angle {\mathrm{P}}_1\mathrm{RQ}=90°$ч.т.д.

б) Пусть $\mathrm{V}$ — объём призмы ${\mathrm{PQRP}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1$. Тогда объём треугольной пирамиды ${\mathrm{PP}}_1\mathrm{QR}$ равен $\frac{\mathrm{V}}{3}$, поскольку её высота ${\mathrm{PP}}_1$ и основание $\mathrm{PQR}$ совпадают с высотой и основанием призмы соответственно. Аналогично, объём треугольной пирамиды ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1\mathrm{Q}$ равен $\frac{\mathrm{V}}{3}$. Призма ${\mathrm{PQRP}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1$ составлена из трёх пирамид: ${\mathrm{PP}}_1\mathrm{QR},{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1\mathrm{Q}$ и ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{QRR}}_1$. Значит, объём пирамиды ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{QRR}}_1$ равен $\frac{\mathrm{V}}{3}$.

В призме ${\mathrm{PQRP}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1:$

$$\begin{gathered} {\mathrm{QQ}}_1=\sqrt{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}^2-{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1^2}=3\sqrt{21} \\ \mathrm{QR}=\sqrt{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}^2-{\mathrm{P}}_1{\mathrm{R}}^2}=8 \\ \mathrm{PR}=\sqrt{{\mathrm{PQ}}^2-{\mathrm{QR}}^2}=6 \\ \mathrm{V}={\mathrm{PP}}_1·\frac{\mathrm{PR}·\mathrm{QR}}{2}=72\sqrt{21} \end{gathered}$$.

Таким образом, объём пирамиды ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{QRR}}_1$ равен $24\sqrt{21}$.