Задание №53477 ЕГЭ Профильной математике

а)  Имеем DE=9-BE=5. Пусть прямая CE пересекает ребро AB в точке M. Треугольники BME и DCE подобны, поэтому $\frac{BM}{DC}=\frac{BE}{DE}=\frac{4}{5},$ откуда BM = 4. Тогда AM = 1. Треугольники ABS и AMF подобны, значит, FM || SB. Поэтому прямая SB параллельна плоскости CEF. 

б) Прямая QE является пересечением плоскостей CEF и SBD, тогда из доказанного в предыдущем пункте следует, что QE || SB. Тогда $\frac{DQ}{OS}=\frac{DE}{EB}=\frac{5}{4}.$

Пусть O  — центр основания ABCD. Так как все боковые ребра пирамиды равны, SO  — высота пирамиды. Имеем: $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{25-{\left(\frac{9}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{19}}{2}.$

Плоскость SDB перпендикулярна плоскости основания, и H  — проекция точки Q на плоскость основания лежит на отрезке DO. Из подобия треугольников DQH и DSO находим $QH=\frac{DQ}{DS}·SO=\frac{5}{9}·SO=\frac{5\sqrt{19}}{18}.$

Ответ:$\frac{5\sqrt{19}}{18}.$