Тренажёр ЕГЭ Профильная математика

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде ${\mathrm{pV}}^{\mathrm{a}}=\mathrm{const}$, где p (Па) — давление в газе, V — объeм газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 25 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 5 раз?

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора получена экспериментально: 

$\mathrm{T}={\mathrm{T}}_0+\mathrm{bt}+{\mathrm{at}}^2$, где t - время в минутах, ${\mathrm{T}}_0=1450 \text{K}$, $\mathrm{а}=-30{\text{ К/мин}}^2, \mathrm{b}=180 \text{К/мин.}$  Известно, что при температуре нагревателя свыше $1600 \text{К}$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через сколько минут после начала работы нужно отключить прибор?

Зависимость объёма спроса $\mathrm{q}$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия – монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой $\mathrm{q} = 120 – 10\mathrm{p}.$ Выручка предприятия за месяц $\mathrm{r}$ (тыс. руб.) вычисляется по формуле $\mathrm{r}\left(\mathrm{p}\right) = \mathrm{pq}$. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит 320 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадет с частотой исходного сигнала ${\mathrm{f}}_0 = 170$Гц и определяется следующим выражением $\mathrm{f}={\mathrm{f}}_0·\frac{\mathrm{c}+\mathrm{u}}{\mathrm{c}-\mathrm{v}} \text{(Гц),}$

где $\mathrm{c}$ – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $\mathrm{u} = 12 \text{м/с }$и $\mathrm{v} = 6\text{ м/с}$ – скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $\mathrm{c}$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике $\mathrm{f}$ будет не менее $180 \text{Гц}$?

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $247 \text{МГц}.$ Скорость погружения батискафа, выражаемая в $\text{м/с}$, определяется по формуле $\mathrm{v}=\mathrm{c}·\frac{\mathrm{f}-{\mathrm{f}}_0}{\mathrm{f}+{\mathrm{f}}_0},$где $\mathrm{c} = 1500 \text{м/с}$ – скорость звука в воде, ${\mathrm{f}}_0$ – частота испускаемых импульсов (в МГц), $\mathrm{f}$ – частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала $\mathrm{f},$ если скорость погружения батискафа не должна превышать $18\text{ м/с}$.

Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле $\mathrm{R}={\mathrm{r}}_{\text{пок}}-\frac{{\mathrm{r}}_{\text{пок}}-{\mathrm{r}}_{\text{экс}}}{{(\mathrm{К}+1)}^{\mathrm{m}}}$, где $\mathrm{m}=\frac{0,02\mathrm{K}}{{\mathrm{r}}_{\text{пок}+0,1}}$, rпок — средняя оценка магазина покупателями, ${\mathrm{r}}_{\mathrm{экс}}$ — оценка магазина, данная экспертами, K — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно $24$, их средняя оценка равна 0,86, а оценка экспертов равна $0,51$.

Рейтинг $\mathrm{R}$ интернет-магазина вычисляется по формуле $\mathrm{R}={\mathrm{r}}_{\mathrm{пок}}-\frac{{\mathrm{r}}_{\mathrm{пок}}-{\mathrm{r}}_{\mathrm{экс}}}{{(\mathrm{к}+1)}^{\mathrm{m}}}$, где m= $\frac{0,02\mathrm{K}}{{\mathrm{r}}_{\text{пок}}+0,1}$, rпок — средняя оценка магазина покупателями, ${\mathrm{r}}_{\mathrm{экс}}$ — оценка магазина, данная экспертами, $\mathrm{K}$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно $26$, их средняя оценка равна $0,68$, а оценка экспертов равна $0,41$.

При температуре $0°\text{С}$ фляга воды имеет диаметр ${\mathrm{l}}_0=40 \text{см}$. При возрастании температуры происходит тепловое расширение фляги, и её диаметр, выраженный в метрах, меняется по закону $\mathrm{l}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{l}}_0(1+\mathrm{\alpha }·\mathrm{t}°),$ где $\mathrm{\alpha }=1,2·{10}^{-5}{\left(°\mathrm{C}\right)}^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $\mathrm{t}°$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре диаметр увеличится на 1 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия и округлите до целых.

Велосипедист выехал из деревни со скоростью ${\mathrm{v}}_0=3 \text{км/ч}$  и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $\mathrm{а}=2$ км/ч². Расстояние от велосипедиста до деревни, измеряемое в километрах, определяется выражением $\mathrm{S}={\mathrm{v}}_0\mathrm{t} +\frac{{\mathrm{at}}^2}{2}$, где $\mathrm{t}$ — время в часах. Определите наименьшее время, через которое велосипедит въедет в зону  функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не ближе, чем в $10$км от деревни. Ответ дайте в минутах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $\mathrm{P}={\mathrm{\sigma ST}}^4$, где $\mathrm{P}$— мощность излучения звезды (в ваттах),$\mathrm{\sigma }=5,7·{10}^{-8}\frac{\text{Вт}}{{\text{м}}^2·{\text{К}}^4}$  — постоянная, $\mathrm{S}$  — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $\mathrm{T}$ — температура (в кельвинах). Известно, что температура некоторой звезды равна $5000 \text{К}$, а мощность её излучения равна $11,4·{10}^{25}$ Вт. Найдите площадь поверхности этой звезды  $·{10}^{18} {\text{м}}^2$.