Задания №14 в ЕГЭ по Профильной математике

Тренажёр ЕГЭ Профильная математика

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 2. Точка M  — середина ребра AA₁.

а)  Докажите, что прямые MB и B₁C перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние между прямыми MB и B₁C.

Ответ

Боишься не поступить на бюджет?

С нами ты поступишь в ВУЗ мечты или мы вернём деньги за обучение!

За ручку доведем тебя до выхода приказа о зачислении

Готовим к ЕГЭ по всем предметам

Подписываем договор, по которому гарантируем, что подготовим на бюджет

Скорее узнай подробности у менеджера

Хочу на бюджет!

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD = 9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На
диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS − точка F так, что SF=BE=4.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

Ответ

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB =  4 и диагональю BD =  7. Все боковые рёбра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 3.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

Ответ

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AD = 14, высота SH = 24. Точка P  — середина бокового ребра SD, а точка N  — середина ребра CD. Плоскость ABP пересекает боковое ребро SC в точке K.

а)  Докажите, что прямая KP пересекает отрезок SN в его середине.

б)  Найдите расстояние от точки K до плоскости ABS.

Ответ

Боишься не поступить на бюджет?

С нами ты поступишь в ВУЗ мечты или мы вернём деньги за обучение!

За ручку доведем тебя до выхода приказа о зачислении

Готовим к ЕГЭ по всем предметам

Подписываем договор, по которому гарантируем, что подготовим на бюджет

Скорее узнай подробности у менеджера

Хочу на бюджет!

Ответ

Точка $C$ лежит на отрезке $AB .$ . Через точку $A$ проведена плоскость, а через точки $B$ и $C$ — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость в точках $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно.

Найдите длину отрезка ${CC}_{1}$ , если:

а) точка $C$ — середина отрезка $AB$ и ${BB}_{1} = 7;$ ;

б) $AC : CB = 3 : 2$ и ${BB}_{1} = 20 .$ .

Ответ

Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ . Диагонали граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ равны $2√ {41}$ и $10$ соответственно, $AB=10$ .

а) Докажите, что треугольник $A_1C_1B$ прямоугольный.

б) Найдите объём пирамиды $ACC_1B_1$ .

Ответ

В правильной треугольной призме $ABCA_1 B_1 C_1$ сторона основания равна $12$ , а боковое ребро равно $4√ {2}$ . На рёбрах $AB$ , $A_1 B_1$ и $B_1 C_1$ отмечены точки $F$ , $N$ и $K$ соответственно, причём $AF=B_1 N=C_1 K =4$ .
а) Пусть $L$ — точка пересечения плоскости $FNK$ с ребром $AC$ . Докажите, что $FNKL$ — ромб.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $FNK$ .

Ответ

Боишься не поступить на бюджет?

С нами ты поступишь в ВУЗ мечты или мы вернём деньги за обучение!

За ручку доведем тебя до выхода приказа о зачислении

Готовим к ЕГЭ по всем предметам

Подписываем договор, по которому гарантируем, что подготовим на бюджет

Скорее узнай подробности у менеджера

Хочу на бюджет!

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ сторона $AB=AA_{1}=3$ , $AD=6$ . На рёбрах $AD$ и $CC_{1}$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ — середины этих рёбер.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершину $D$ , параллельно $MN$ и $B_{1}C$ .
б) Найдите объём пирамиды, основание которой — построенное сечение, а вершина — точка $D_{1}$

Ответ

Основанием прямой треугольной призмы $PQRP_1Q_1R_1$ является прямоугольный треугольник $PQR$ с прямым углом $R$ . Диагонали боковых граней $PP_1Q_1Q$ и $PP_1R_1R$ равны $17$ и $15$ соответственно, $PQ = 10$ .
а) Докажите, что треугольник $P_1QR$ прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды $P_1QRR_1$ .