Задание №46296 ЕГЭ Профильной математике

Преобразуем систему:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{\log }_{10}\left(a-x^2\right)={\log }_{10}\left(a-y^2\right),\\ x^2+y^2=8x+10y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a-x^2=a-y^2,\\ a-x^2>0,\\ x^2-8x+y^2-10y=0\end{array}\right.\iff \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\pm x,\\ -\sqrt{a}<x<\sqrt{a},\\ {(x-4)}^2+{(y-5)}^2=41.\end{array}\right. \end{gathered}$$

Изобразим линии, соответствующие уравнениям и неравенствам системы, в плоскости xOy. Уравнения $y=\pm x$ задают две прямые, проходящие через начало координат. Двойное неравенство $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ задают внутреннюю часть вертикальной полосы, ограниченной прямыми $x=-\sqrt{a}$ и $x=\sqrt{a}$. Уравнение ${(x-4)}^2+{(y-5)}^2=41$ задает окружность с центром в точке $\left(4; 5\right)$ и радиусом $\sqrt{41}.$

Найдем абсциссы точек пересечения прямой $y=x$ и окружности: подставим $y=x$ во второе уравнение исходной системы. Получим: $2x^2=18x,$ то есть $x=0$ или $x=9.$ Аналогично найдем абсциссы точек пересечения окружности и прямой $y=-x.$ Имеем:$2x^2-2x,$ откуда $x=0$ или $x=-1.$

Тем самым получены абсциссы трех точек $x=-1, x=0, x=9,$ которые могут быть решениями системы при условии существования логарифмов. Требуется, чтобы (строго) внутрь полосы $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a},$ симметричной относительно оси ординат, попали ровно две из трех этих точек. Это происходит в точности тогда, когда $-1<\sqrt{a}\le 9.$ Таким образом, $1<a\le 81.$