Задание №51589 ЕГЭ Профильной математике

Запишем уравнение в виде $x^2+{(a-1)}^2=\left|x-1+a\right|+\left|x-a+1\right|$. Если $x_0$ является корнем исходного уравнения, то и $-x_0$ является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если $x_0=-x_0$ то есть $x_0=0$. Подставим значение $x=0$ в уравнение:

${(1-a)}^2=2\left|1-a\right|\iff \left|1-a\right|·(\left|1-a\right|-2)=0$, откуда либо $\left|1-a\right|=0\iff a=1$, либо $\left|1-a\right|=2\iff a=-1$ или $a=3$.

 

При $a=1$ уравнение принимает вид $x^2=2\left|x\right|$. Корнями этого уравнения являются числа -2, 0 и 2 и, то есть уравнение имеет ровно три корня.

 

При $a=-1$ и при $a=3$ уравнение принимает вид $x^2+4=\left|x-2\right|+\left|x+2\right|$.

 

При $x<-2$ это уравнение сводится к уравнению $x^2+2x+4=0$, которое не имеет корней.

 

При $-2\le x\le 2$ получаем уравнение $x^2=0$, которое имеет единственный корень.

 

При $x>2$ получаем уравнение $x^2-2x+4=0$, которое не имеет корней.

 

Таким образом, при $a=-1$ и при $a=3$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a=-1$ и $a=3$.