Задание №56728. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

Задание №56728 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #56728

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: 5 x минус 3 конец аргумента умножить на натуральный логарифм левая круглая скобка x в квадрате минус 6 x плюс 10 минус a в квадрате правая круглая скобка =0$

имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].

Ответ

Ответ:

Решение

Рассмотрим два случая. Первый случай:

$система выражений корень из: начало аргумента: 5x минус 3 конец аргумента =0,x в квадрате минус 6 x плюс 10 минус a в квадрате больше 0, 0 меньше или равно x меньше или равно 3 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби минус дробь: числитель: 18, знаменатель: 5 конец дроби плюс 10 минус a в квадрате больше 0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы .$

Второй случай:

$система выражений натуральный логарифм левая круглая скобка x в квадрате минус 6 x плюс 10 минус a в квадрате правая круглая скобка =0,5x минус 3\geqslant0, 0 меньше или равно x меньше или равно 3 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате минус 6 x плюс 10 минус a в квадрате =1,5x\geqslant3, 0 меньше или равно x меньше или равно 3 конец системы . равносильно$ $равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате =a в квадрате , x больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , 0 меньше или равно x меньше или равно 3 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x минус 3=a,x минус 3= минус a, конец системы . дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно x меньше или равно 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x=3 плюс a, минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно a меньше или равно 0 , конец системы . система выражений x=3 минус a,0 меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы . конец совокупности .$

Корни $x=3 плюс a$ и $x=3 минус a$ совпадают при $a=0.$ При этом $x=3.$ Корни $x=3 плюс a$ и $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби$ совпадают при $a= минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .$ Корни $x=3 минус a$ и $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби$ совпадают при $a= дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .$

Объединяя результаты, получаем, что исходное уравнение на отрезке [0; 3]:

— при $a меньше или равно минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби$ не имеет корней;

— при $минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби меньше a меньше или равно минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби$ имеет один корень $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ;$

— при $минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби меньше a меньше или равно 0$ имеет два корня $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби$ и $x=3 плюс a;$

— при $0 меньше a меньше дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби$ имеет два корня $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби$ и $x=3 минус a;$

— при $дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно a меньше дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби$ имеет один корень $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ;$

— при $a больше или равно дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби$ не имеет корней.

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 3] при $минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби меньше a меньше или равно минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби$ или $дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно a меньше дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби ; минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка .$

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот