Задание №51174 ЕГЭ Профильной математике

Уравнение ${(x^2-3+\sqrt{2x+a})}^2={(x^2-3)}^2+2x+a$ равносильно уравнению $(x^2-3)\sqrt{2x+a}=0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй имеет смысл.

Уравнение $x^2-3=0$ имеет единственное решение $x=\sqrt{3}$ на отрезке [0;2].

Выражение $\sqrt{2\sqrt{3}+a}$ имеет смысл при $a\ge -2\sqrt{3}$, значит, при $a\ge -2\sqrt{3}$ число $x=\sqrt{3}$ является решением уравнения $(x^2-3)\sqrt{2x+a}=0$

Уравнение $\sqrt{2x+a}=0$ имеет единственное решение $x=-\frac{a}{2}$ на отрезке [0;2] при $-4\le a\le 0$. Выражение $x^2-3$ имеет смысл при всех значениях x.

Решения $x=\sqrt{3}$ и $x=-\frac{a}{2}$ уравнения $(x^2-3)\sqrt{2x+a}=0$ совпадают при $a=-2\sqrt{3}$.

Поскольку $-4<-2\sqrt{3}$, уравнение ${(x^2-3+\sqrt{2x+a})}^2={(x^2-3)}^2+2x+a$ имеет единственное решение на отрезке [0;2] при $-4\le a\le -2\sqrt{3}$ или $a>0$.

Ответ: $[-4;-2\sqrt{3}]\cup (0;+\infty )$.