Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
 Тренировки Пробники Статистика Карточки Учебник Об экзамене Учительская
  • Тренажёр заданий ЕГЭ
  • Тренажёр ЕГЭ по Профильной математике
  • Список заданий №18
  • Задание №18

    • Задание №60188 ЕГЭ Профильной математике

    Условие задания #60188

    №18 по КИМ

    Найти все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

      \[\frac{a-(a^2-2a)\cos2x+2}{3-\cos4x+a^2}<1\]

    содержит отрезок [-2\pi; -\frac{7\pi}{6}]

    Ответ

    Ответ:

    Решение

    Обозначим t=\cos2x, тогда \cos4x=2\cos^2{2x}-1=2t^2-1
    Заметим, что знаменатель 3-\cos4x+a^2 > 0 при любом x.
    Значит, мы можем домножить на знаменатель, т.к. нет таких x, при которых знаменатель был бы равен нулю, и при этом знак неравенства останется тем же:

      \[a-(a^2-2a)\cos2x+2<3-\cos4x+a^2\]

    Сделаем замену на t:

      \[a-(a^2-2a)t+2<3-(2t^2-1)+a^2\]

      \[2t^2+t(2a-a^2) +a-a^2-2 <0\]

    Нам нужно найти все a, при которых множество решений данного неравенства содержит отрезок x \in [-2\pi; -\frac{7\pi}{6}] при этом t=\cos2x пробегает значения [\cos(2*(-2\pi)); \cos(2*(-\frac{7\pi}{6}))], т.е. [\cos(-4\pi)); \cos(-\frac{7\pi}{3})], т.е. t \in [-1,1], т.к. уже даже при изменении угла от -4\pi до -3\pi косинус пробегает значения от 1 до -1, а у нас угол меняется от -4\pi до -\frac{7\pi}{3}=-3\pi+\frac{2\pi}{3}> -3\pi.

    Итак,

      \[2t^2+t(2a-a^2) +a-a^2-2 <0\]

    Нам нужно найти все a, при которых множество решений данного неравенства содержит отрезок t \in [-1,1].
    Это будет происходить, если:

      \[\begin{Bmatrix} {f(-1)<0} \\{f(1)<0} \end{matrix}\]

    где f(t)=2t^2+t(2a-a^2) +a-a^2-2 — есть наша квадратичная функция по t.

      \[\begin{Bmatrix} {2(-1)^2+(-1)(2a-a^2) +a-a^2-2 <0} \\{2*1^2+1*(2a-a^2) +a-a^2-2 <0} \end{matrix}\]

      \[\begin{Bmatrix} {-a <0} \\{-2 \; a^{2} + 3 \; a <0} \end{matrix}\]

      \[\begin{Bmatrix} {a>0} \\{a(-2a + 3) <0} \end{matrix}\]

      \[\begin{Bmatrix} {a>0} \\{2a >3} \end{matrix}\]

      \[a>\frac32\]

    Ответ: a>1,5

    Понятно ли решение?

    Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

    1. Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
    2. Введи код авторизации из TG-бота
    Активировать TG-бот

    Похожие задания

    15
    Задание №92110Задание №53479Задание №56728Задание №56729Задание №34007Задание №58401Задание №53694Задание №92109Задание №46296Задание №51174Задание №92111Задание №54347Задание №51589Задание №92115Задание №92116
    Бесплатно

    Решай задачи ЕГЭ в приложении

    Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!

    Новая Школа

    Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

    Контакты

    +7 964 727-31-41

    Служба поддержки

    Ежедневно с 10:00 до 22:00

    Мобильное приложение

    Саша — ассистент в телеграмме

    ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

    © Новая Школа 2026
    Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта