Задание №71534 ЕГЭ Профильной математике

Каждое решение уравнения $(x^2 - 5x - y + 3) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0$либо является решением уравнения $x - y + 3 = 0$, откуда $y = x + 3$ либо является решением системы:

$$\begin{cases} x^2 - 5x - y + 3 = 0, \\ x - y + 3 > 0; \end{cases}$$ $$\text{или} \quad \begin{cases} x^2 - 5x - y + 3 = 0, \\ x - y + 3 = 0; \end{cases}$$ $$\text{или} \quad \begin{cases} x^2 - 5x - y + 3 = 0, \\ x - y + 3 < 0; \end{cases}$$

откуда $y = x^2 - 5x + 3$ при условии $0 \leq x \leq 6$.

Для каждого из этих случаев подставим $y = 3x + a$ и найдём количество корней получившегося уравнения в зависимости от $a$.

Первый случай: $3x + a = x^2 - 5x + 3$, откуда $x^2 - 8x - a + 3 = 0$.

Второй случай: $3x + a = x^2 - 5x + 3$ при условии $0 \leq x \leq 6$. Получаем квадратное уравнение $x^2 - 8x - a + 3 = 0$. Дискриминант этого уравнения равен $64 + 4(a - 3) = 4(a + 13)$. Значит, уравнение $x^2 - 8x - a + 3 = 0$имеет два корня при $a > -13$, имеет единственный корень $x = 4$ при $a = -13$и не имеет корней при $a < -13$.

При $a > -13$ функция $f(x) = x^2 - 8x - a + 3$ принимает наименьшее значение при $x = 4$, и это значение отрицательно. Следовательно, больший корень уравнения $f(x) = 0$ удовлетворяет условию $0 \leq x \leq 6$ тогда и только тогда, когда $f(6) \geq 0$, откуда $a \leq -9$.

Аналогично меньший корень уравнения $f(x) = 0$ удовлетворяет условию $0 \leq x \leq 6$ тогда и только тогда, когда $f(0) \geq 0$, откуда $a \leq 3$.

Число $\frac{3 - a}{2}$ является корнем квадратного уравнения $f(x) = 0$при

$$\left(\frac{3 - a}{2}\right)^2 - 4(3 - a) - a + 3 = 0,$$

откуда

$$\left(\frac{a - 3}{2}\right)^2 + 3(a - 3) = 0; \quad (a - 3)(a - 9) = 0,$$

то есть при $a = 3$ и при $a = -9$

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при $a = -13$; $-9 \leq a < 3$.

Ответ: $a = -13$; $-9 \leq a < 3$.